Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{2x + 1}}\). Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) lần lượt là \(M\) và \(m\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị có tiệm cận đứng tại \(x = 1\) (vị trí hai vạch song song), loại đáp án D.

Khi \(x \to \pm \infty \), giá trị của \(y \to - 1\). Do đó đường tiệm cận ngang là \(y = - 1\).

Xét đáp án B: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = 1 \ne - 1\) (Loại).

Xét đáp án C: \(y = \frac{{ - x + 3}}{{x - 1}}\) có tiệm cận ngang là \(y = \frac{{ - 1}}{1} = - 1\). Đạo hàm \(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\), phù hợp với dấu \( - \) trong bảng biến thiên.

Chọn C.

a) SAI: \(V\left( {10} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 0,5 \cdot {{10}^3} + 90 \cdot {{10}^2}} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 500 + 9000} \right) = 85{\rm{\;}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

b) ĐÚNG: Hàm tốc độ: \(v\left( t \right) = V'\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 1,5{t^2} + 180t} \right)\).

Tại \(t = 20\): \(v\left( {20} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 1,5 \cdot 400 + 180 \cdot 20} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 600 + 3600} \right) = 30{\rm{\;}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}/{\rm{ph\'u t}}\).

c) ĐÚNG: Xét hàm \(V\left( t \right)\) trên \(\left[ {0;30} \right]\). Vì \(V'\left( t \right) = v\left( t \right) > 0\) với mọi \(t \in \left( {0;30} \right)\) nên hàm số đồng biến.

Thể tích lớn nhất trong 30 phút đầu là \(V\left( {30} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 0,5 \cdot {{30}^3} + 90 \cdot {{30}^2}} \right) = 675{\rm{\;}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

d) SAI: Tìm giá trị lớn nhất của \(v\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 1,5{t^2} + 180t} \right)\).

Đây là hàm bậc hai có đỉnh tại \(t = \frac{{ - 180}}{{2 \cdot \left( { - 1,5} \right)}} = 60\).

Tốc độ cực đại đạt được tại \(t = 60\): \(v\left( {60} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 1,5 \cdot {{60}^2} + 180 \cdot 60} \right) = 54{\rm{\;}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}/{\rm{ph\'u t}} \ne 60\).