Một doanh nghiệp sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tháng \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*};1 \le x \le 7000} \right)\). Chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm (đơn vị: nghìn đồng) được cho bởi hàm

\(G\left( x \right) = 2x + 270\).

Người ta xây dựng hàm doanh thu (đơn vị: nghìn đồng) của doanh nghiệp theo công thức

\(F\left( x \right) = {x^3} - 20487{x^2} + 139929570x - 318539780000\).

Giả sử toàn bộ sản phẩm sản xuất ra đều được tiêu thụ. Hỏi doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được \( \ge 100\) triệu đồng?

_____

Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị có tiệm cận đứng tại \(x = 1\) (vị trí hai vạch song song), loại đáp án D.

Khi \(x \to \pm \infty \), giá trị của \(y \to - 1\). Do đó đường tiệm cận ngang là \(y = - 1\).

Xét đáp án B: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = 1 \ne - 1\) (Loại).

Xét đáp án C: \(y = \frac{{ - x + 3}}{{x - 1}}\) có tiệm cận ngang là \(y = \frac{{ - 1}}{1} = - 1\). Đạo hàm \(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\), phù hợp với dấu \( - \) trong bảng biến thiên.

Chọn C.

a) SAI: \(V\left( {10} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 0,5 \cdot {{10}^3} + 90 \cdot {{10}^2}} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 500 + 9000} \right) = 85{\rm{\;}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

b) ĐÚNG: Hàm tốc độ: \(v\left( t \right) = V'\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 1,5{t^2} + 180t} \right)\).

Tại \(t = 20\): \(v\left( {20} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 1,5 \cdot 400 + 180 \cdot 20} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 600 + 3600} \right) = 30{\rm{\;}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}/{\rm{ph\'u t}}\).

c) ĐÚNG: Xét hàm \(V\left( t \right)\) trên \(\left[ {0;30} \right]\). Vì \(V'\left( t \right) = v\left( t \right) > 0\) với mọi \(t \in \left( {0;30} \right)\) nên hàm số đồng biến.

Thể tích lớn nhất trong 30 phút đầu là \(V\left( {30} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 0,5 \cdot {{30}^3} + 90 \cdot {{30}^2}} \right) = 675{\rm{\;}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

d) SAI: Tìm giá trị lớn nhất của \(v\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 1,5{t^2} + 180t} \right)\).

Đây là hàm bậc hai có đỉnh tại \(t = \frac{{ - 180}}{{2 \cdot \left( { - 1,5} \right)}} = 60\).

Tốc độ cực đại đạt được tại \(t = 60\): \(v\left( {60} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 1,5 \cdot {{60}^2} + 180 \cdot 60} \right) = 54{\rm{\;}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}/{\rm{ph\'u t}} \ne 60\).