Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có tọa độ \(A\left( {507;525;502} \right)\), \(B\left( {500;501;502} \right)\), \(C\left( {520;516;502} \right)\). Tính độ dài \(HK\) với \(H\) là tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh \(A\) xuống cạnh \(BC\), \(K\) là tọa độ chân đường phân giác trong của góc \(B\) (\(K \in AC\)). (Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười).

____

Nhận thấy cả ba điểm \(A,B,C\) đều có cao độ bằng nhau (\(z = 502\)). Do đó, tam giác \(ABC\) nằm hoàn toàn trong mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Để đơn giản hóa tính toán, ta có thể bỏ qua cao độ \(z\) trong các bước trung gian và xét bài toán trên mặt phẳng với tọa độ các đỉnh:

\(A\left( {507;525} \right),\quad B\left( {500;501} \right),\quad C\left( {520;516} \right)\).

Ÿ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc \(H\) của \(A\) lên \(BC\)

Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {520 - 500;516 - 501} \right) = \left( {20;15} \right) = 5\left( {4;3} \right)\).

Vì điểm \(H\) thuộc đường thẳng \(BC\), ta biểu diễn tọa độ của \(H\) theo tham số \(t\): \(H\left( {500 + 4t;501 + 3t} \right)\).

Suy ra vectơ \(\overrightarrow {AH} = \left( {500 + 4t - 507;501 + 3t - 525} \right) = \left( {4t - 7;3t - 24} \right)\).

Vì \(AH \bot BC\), tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AH} \) và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \(0\):

\(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow 4\left( {4t - 7} \right) + 3\left( {3t - 24} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 16t - 28 + 9t - 72 = 0 \Leftrightarrow 25t = 100 \Leftrightarrow t = 4\).

Thay \(t = 4\) ngược lại tọa độ điểm \(H\) (và thêm cao độ \(z = 502\)): \(H\left( {516;513;502} \right)\).

Ÿ Tìm tọa độ chân đường phân giác trong \(K\) của góc \(B\)

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có tỉ lệ: \(\frac{{KA}}{{KC}} = \frac{{BA}}{{BC}}\).

Ta tính độ dài các cạnh \(BA\) và \(BC\):

\(BA = \sqrt {{{\left( {507 - 500} \right)}^2} + {{\left( {525 - 501} \right)}^2}} = \sqrt {{7^2} + {{24}^2}} = \sqrt {625} = 25\);

\(BC = \sqrt {{{\left( {520 - 500} \right)}^2} + {{\left( {516 - 501} \right)}^2}} = \sqrt {{{20}^2} + {{15}^2}} = \sqrt {625} = 25\).

Do \(BA = BC = 25\), tam giác \(ABC\) là tam giác cân tại \(B\).

Suy ra \(\frac{{KA}}{{KC}} = 1\), nghĩa là \(K\) chính là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\).

Tọa độ điểm \(K\) được tính bằng trung bình cộng tọa độ của \(A\) và \(C\):

\({x_K} = \frac{{507 + 520}}{2} = \frac{{1027}}{2}\); \({y_K} = \frac{{525 + 516}}{2} = \frac{{1041}}{2}\); \({z_K} = 502\).

Vậy tọa độ điểm \(K\) là: \(K\left( {\frac{{1027}}{2};\frac{{1041}}{2};502} \right)\).

Như vậy \(H\left( {516;513;502} \right)\), \(K\left( {\frac{{1027}}{2};\frac{{1041}}{2};502} \right)\).

Ÿ Tính độ dài đoạn thẳng \(HK\)

Độ dài đoạn thẳng \(HK\): \(HK = \sqrt {{{\left( {\frac{{1027}}{2} - 516} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{1041}}{2} - 513} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{{5\sqrt {10} }}{2}\).

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: \(HK = \frac{{5\sqrt {10} }}{2} \approx 7,9\).

Đáp số: 7,9.