Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THCS - THPT Trần Cao Vân (TP.HCM) có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\), đạo hàm \(y' > 0\) và mũi tên của biến thiên \(y\) đi lên từ \(1\) đến \(3\).

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\).

Chọn C.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 3\).

Xét \(y' < 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1\).

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).

Chọn A.

Điểm cực đại của hàm số là giá trị của biến số \(x\) tại vị trí đồ thị đạt đỉnh lồi lên.

Từ đồ thị, ta thấy điểm cao nhất cục bộ của đồ thị có tọa độ là \(\left( { - 1;3} \right)\).

Do đó, hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\).

Chọn C.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y' = {x^2} - 4x + 3\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).

Xét dấu \(y'\):

\(y' > 0\) trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).

\(y' < 0\) trên \(\left( {1;3} \right)\).

Điểm cực tiểu của hàm số là \(x = 3\).

Giá trị cực tiểu tương ứng: \(y\left( 3 \right) = \frac{1}{3} \cdot {3^3} - 2 \cdot {3^2} + 3 \cdot 3 + 1 = 9 - 18 + 9 + 1 = 1\).

Chọn A.

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) vì mẫu số \(2x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - \frac{1}{2}\) không thuộc \(\left[ {0;2} \right]\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{{1 \cdot 1 - \left( { - 1} \right) \cdot 2}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\).

Vì \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).

Giá trị nhỏ nhất: \(m = y\left( 0 \right) = \frac{{0 - 1}}{{2 \cdot 0 + 1}} = - 1\).

Giá trị lớn nhất: \(M = y\left( 2 \right) = \frac{{2 - 1}}{{2 \cdot 2 + 1}} = \frac{1}{5}\).

Tính tổng: \(M + m = \frac{1}{5} + \left( { - 1} \right) = - \frac{4}{5}\).

Chọn C.

Phương trình mẫu số: \({x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 1\).

Tại \(x = 1\), tử số bằng \(4 \ne 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}} = + \infty \Rightarrow x = 1\) là tiệm cận đứng.

Tại \(x = - 1\), tử số bằng \( - 4 \ne 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}} = + \infty \Rightarrow x = - 1\) là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có \(2\) đường tiệm cận đứng.

Chọn A.

Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị có tiệm cận đứng tại \(x = 1\) (vị trí hai vạch song song), loại đáp án D.

Khi \(x \to \pm \infty \), giá trị của \(y \to - 1\). Do đó đường tiệm cận ngang là \(y = - 1\).

Xét đáp án B: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = 1 \ne - 1\) (Loại).

Xét đáp án C: \(y = \frac{{ - x + 3}}{{x - 1}}\) có tiệm cận ngang là \(y = \frac{{ - 1}}{1} = - 1\). Đạo hàm \(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\), phù hợp với dấu \( - \) trong bảng biến thiên.

Chọn C.

Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm có hoành độ \(x = 0\).

Thay \(x = 0\) vào phương trình hàm số: \(y = - 1\).

Chọn B.