Cho hình thoi \(ABCD\) có \[\widehat A = 60^\circ .\] Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(M,\) trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AM = BN.\)

Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(\widehat C = \widehat D.\)

Vì \(DB\) là tia phân giác góc \(D\) nên \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}} = \frac{1}{2}\widehat D.\)

Suy ra \(\widehat C = 2\widehat {{D_2}}.\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}}\) (so le trong). Do đó \(\widehat C = 2\widehat {{B_1}}.\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) dễ dàng chứng minh được \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {{B_1}} + \widehat {DBC} + 2\widehat {{B_1}} = 180^\circ \)

\(3\widehat {{B_1}} + 90^\circ = 180^\circ \)

\[3\widehat {{B_1}} = 90^\circ \]

\[\widehat {{B_1}} = 30^\circ \]

Suy ra \[\widehat D = \widehat C = 60^\circ .\]

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\).

Khi đó \(\Delta OCD\) có \[\widehat D = \widehat C = 60^\circ \] nên là tam giác đều.

Suy ra \(OD = OC = CD.\)

Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD = BC.\)

Lại có \(\Delta ABD\) cân tại \(A\) (do \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) vì cùng bằng \(\widehat {{D_2}})\) nên \(AB = AD\)

Suy ra \(AB = AD = BC = 3\) cm.

Vì \(OD = OC\) và \(AD = BC\) nên \(OA = OB\).

Xét \(\Delta OAB\) có \(OA = OB\) và \(\widehat O = 60^\circ \) nên \(\Delta OAB\) là tam giác đều.

Suy ra \(OA = OB = AB = 3\) (cm).

Khi đó \(OD = OA + AD = 3 + 3 = 6\) (cm) nên \(CD = 6\) (cm).

Chu vi của hình thang \(ABCD\) là

\(AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + 6 + 3 = 18\) cm.

Đáp án:

Vì tia \(AI\) là tia phân giác của \(\widehat {DAM}\) nên \(\widehat {DAI} = \widehat {IAH}.\)

Xét \(\Delta ADI\) vuông tại \(D\) và \(\Delta AHI\) vuông tại \(H\) có:

\(AI\) là cạnh huyền chung và \(\widehat {DAI} = \widehat {IAH}\)

Do đó \(\Delta ADI = \Delta AHI\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(AD = AH.\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AD = AB,\) do đó \(AH = AB.\)

Xét \(\Delta AHK\) vuông tại \(H\) và \(\Delta ABK\) vuông tại \(B\) có:

\(AK\) là cạnh huyền chung và \(AH = AB\)

Do đó \(\Delta AHK = \Delta ABK\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat {HAK} = \widehat {BAK}.\)

Ta có \(\widehat {IAK} = \widehat {IAH} + \widehat {HAK}.\)

Khi đó \(2\widehat {IAK} = 2\widehat {IAH} + 2\widehat {HAK} = \widehat {DAH} + \widehat {HAB} = \widehat {DAB} = 90^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {IAK} = 45^\circ .\)

Đáp án: 45.