Cho hình thoi \(ABCD\) có \[\widehat A = 60^\circ .\] Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(M,\) trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AM = BN.\)
a. Tam giác \(ABD\) là tam giác đều.
b. \(\Delta ADM = \Delta BDN\) (c.c.c)
c. \(\widehat {MDN}\) luôn không đổi và bằng \(60^\circ \) với mọi vị trí của điểm \(M.\)
d. Chu vi của tam giác \(MDN\) sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi điểm \(M\) trùng điểm \(A.\)
Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 8 Chương 3 (có đáp án) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Đúng. Tam giác \(ABD\) có \(AB = AD\) (tính chất các cạnh hình thoi) nên là tam giác cân.
Tam giác cân có \[\widehat A = 60^\circ \] nên \[\Delta ABD\] là tam giác đều.
b) Sai. Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AD\,{\rm{//}}\,BC\) và \(BD\) là tia phân giác của góc \(B.\)
Vì \(AD\,{\rm{//}}\,BC\) nên dễ dàng chứng minh được \[\widehat A + \widehat B = 180^\circ ,\] suy ra \[\widehat B = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ .\]
Vì \(BD\) là tia phân giác của góc \(B\) suy ra \(\widehat {DBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ .\)
Vì \[\Delta ABD\] là tam giác đều nên \(\widehat {ADB} = 60^\circ \) và \(AD = BC.\)
Xét \(\Delta ADM\) và \(\Delta BDN\) có:
\(AD = BC,\,\,\widehat {MAD} = \widehat {NBD} = 60^\circ ,\,\,AM = BN.\)
Do đó \(\Delta ADM = \Delta BDN\) (c.g.c).
c) Đúng. Vì \(\Delta ADM = \Delta BDN\) (c.g.c) nên ta có \(\widehat {ADM} = \widehat {BDN}.\)
Khi đó \(\widehat {MDN} = \widehat {MDB} + \widehat {BDN} = \widehat {MDB} + \widehat {ADM} = \widehat {ADB} = 60^\circ .\)
Vậy \(\widehat {MDN}\) bằng \(60^\circ \) chứ không phải \(90^\circ .\)
d) Sai. Ta có \(DM = DN\) (do \(\Delta ADM = \Delta BDN)\) và góc \(\widehat {MDN} = 60^\circ ,\) nên \(\Delta MDN\) là tam giác đều.
Chu vi tam giác đều bằng \(3DM.\)
Để chu vi đạt giá trị nhỏ nhất thì đoạn thẳng \(DM\) phải ngắn nhất.
Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, \(DM\) ngắn nhất khi nó vuông góc với \(AB.\)
Trong tam giác đều \(ABD,\) đường cao xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến, do đó \(M\) bắt buộc phải là trung điểm của cạnh \(AB.\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(\widehat C = \widehat D.\)
Vì \(DB\) là tia phân giác góc \(D\) nên \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}} = \frac{1}{2}\widehat D.\)
Suy ra \(\widehat C = 2\widehat {{D_2}}.\)
Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}}\) (so le trong). Do đó \(\widehat C = 2\widehat {{B_1}}.\)
Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) dễ dàng chứng minh được \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {{B_1}} + \widehat {DBC} + 2\widehat {{B_1}} = 180^\circ \)
\(3\widehat {{B_1}} + 90^\circ = 180^\circ \)
\[3\widehat {{B_1}} = 90^\circ \]
\[\widehat {{B_1}} = 30^\circ \]
Suy ra \[\widehat D = \widehat C = 60^\circ .\]
Gọi \(O\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\).
Khi đó \(\Delta OCD\) có \[\widehat D = \widehat C = 60^\circ \] nên là tam giác đều.
Suy ra \(OD = OC = CD.\)
Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD = BC.\)
Lại có \(\Delta ABD\) cân tại \(A\) (do \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) vì cùng bằng \(\widehat {{D_2}})\) nên \(AB = AD\)
Suy ra \(AB = AD = BC = 3\) cm.
Vì \(OD = OC\) và \(AD = BC\) nên \(OA = OB\).
Xét \(\Delta OAB\) có \(OA = OB\) và \(\widehat O = 60^\circ \) nên \(\Delta OAB\) là tam giác đều.
Suy ra \(OA = OB = AB = 3\) (cm).
Khi đó \(OD = OA + AD = 3 + 3 = 6\) (cm) nên \(CD = 6\) (cm).
Chu vi của hình thang \(ABCD\) là
\(AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + 6 + 3 = 18\) cm.
Lời giải
Đáp án:
Vì tia \(AI\) là tia phân giác của \(\widehat {DAM}\) nên \(\widehat {DAI} = \widehat {IAH}.\)
Xét \(\Delta ADI\) vuông tại \(D\) và \(\Delta AHI\) vuông tại \(H\) có:
\(AI\) là cạnh huyền chung và \(\widehat {DAI} = \widehat {IAH}\)
Do đó \(\Delta ADI = \Delta AHI\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra \(AD = AH.\)
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AD = AB,\) do đó \(AH = AB.\)
Xét \(\Delta AHK\) vuông tại \(H\) và \(\Delta ABK\) vuông tại \(B\) có:
\(AK\) là cạnh huyền chung và \(AH = AB\)
Do đó \(\Delta AHK = \Delta ABK\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra \(\widehat {HAK} = \widehat {BAK}.\)
Ta có \(\widehat {IAK} = \widehat {IAH} + \widehat {HAK}.\)
Khi đó \(2\widehat {IAK} = 2\widehat {IAH} + 2\widehat {HAK} = \widehat {DAH} + \widehat {HAB} = \widehat {DAB} = 90^\circ .\)
Suy ra \(\widehat {IAK} = 45^\circ .\)
Đáp án: 45.
Câu 3
a. Tứ giác \(ADME\) là hình thoi.
b. Hai đường chéo \(AM\) và \(DE\) bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
c. Để tứ giác \(ADME\) là hình vuông, điểm \(M\) bắt buộc phải là trung điểm của cạnh huyền \(BC.\)
d. Để tứ giác \(ADME\) là hình vuông thì \(\widehat {BAM} = 45^\circ .\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(75^\circ \).
B. \(105^\circ \).
C. \(90^\circ \).
D. \(150^\circ \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a. \(\Delta AMQ = \Delta BNM\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
b. \(\widehat {QMN} = 90^\circ .\)
c. \(MNPQ\) là hình vuông.
d. Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD.\) Ba điểm \(M,\) \(O,\) \(P\) không thẳng hàng.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
a. Tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân.
b. \(AC\) và \(BD\) bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
c. \(\Delta ADC = \Delta BCD.\)
d. Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD,\) khi đó \(\Delta OAD\) và \(\Delta OBC\) là các tam giác cân tại đỉnh \(O.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập