Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat A = 80^\circ ,\) \(\widehat B = 100^\circ ,\) và \(\widehat C\) lớn hơn \(\widehat D\) là \(20^\circ .\) Số đo của góc \(C\) là

a) Đúng. Tứ giác \(AEFD\) có \(AE\,{\rm{//}}\,DF\) và \(AE = DF\) nên nó là hình bình hành.

Vì \(E\) là trung điểm \(AB\) và \(AB = 2AD\) nên \(AE = \frac{1}{2}AB = AD.\)

Hình bình hành \(AEFD\) có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi.

b) Sai. Hai đường chéo \(AF\) và \(DE\) của hình thoi \(AEFD\) cắt nhau tại trung điểm và vuông góc với nhau, nhưng chúng hoàn toàn không bắt buộc phải bằng nhau.

c) Đúng. Vì \(AEFD\) là hình thoi nên \(AF \bot DE,\) tức là \(\widehat {EMF} = 90^\circ .\)

Tương tự, \(BEFC\) cũng là hình thoi nên \(\widehat {ENF} = 90^\circ .\)

Dễ dàng chứng minh được tứ giác \(AECF\) là hình bình hành nên \(AF\,{\rm{//}}\,CE\).

Mà \(AF \bot DE,\) nên \(CE \bot DE\) tại \(E.\) Do đó \(\widehat {MEN} = 90^\circ .\)

Tương tự, ta có \(\widehat {MFN} = 90^\circ .\)

Tứ giác \(EMFN\) có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật.

d) Sai. Để hình chữ nhật \(EMFN\) trở thành hình vuông thì hai cạnh kề \(EM\) và \(MF\) phải bằng nhau, tức là \(DE = CE.\)

Mà \(CE = AF\) (do \(AECF\) là hình bình hành) nên ta cần \(DE = AF.\)

Hình thoi \(AEFD\) có hai đường chéo \(DE = AF\) nên nó sẽ là hình vuông.

Khi đó \(\widehat {DAB} = 90^\circ .\)

Do vậy, điều kiện đúng là hình bình hành \(ABCD\) phải là hình chữ nhật, chứ không phải hình thoi (do giả thiết \(AB = 2AD\) ngay từ đầu đã mâu thuẫn với định nghĩa hình thoi \(AB = AD\)).

Thật vậy, nếu \(ABCD\) là hình chữ nhật thì \(EMFN\) là hình vuông.

a) Đúng. Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat A = 90^\circ .\)

Tam giác \(AMN\) có một góc vuông và hai cạnh góc vuông \(AM = AN\) nên là tam giác vuông cân tại đỉnh \(A.\)

b) Đúng. Trong \(\Delta AMN\) cân, \(AH\) vừa là đường cao, vừa là tia phân giác của góc \(A.\)

c) Đúng. Vì \(AH\) là phân giác của góc \(A\) nên để \(A,H,C\) thẳng hàng thì đường chéo \(AC\) bắt buộc phải đóng vai trò là tia phân giác của góc \(A.\)

Một hình chữ nhật có đường chéo là đường phân giác của một góc thì hình đó là hình vuông.

d) Sai. Điểm \(M,N\) là các điểm di động trên các cạnh \(AB,AD\) nên độ dài cạnh \(AM\) thay đổi từ 0 cho đến bằng \(AB.\)

Do đó, diện tích tam giác vuông \({S_{\Delta AMN}} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN = \frac{1}{2}A{M^2}\) là một giá trị thay đổi theo vị trị của điểm \(M,N\).