Cho hình bình hành \(ABCD.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,CD.\) Gọi \(P,Q\) lần lượt là giao điểm của đường chéo \(BD\) với \(AN,CM.\) Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \(DP = PQ = QB\).
B. Tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành.
C. \(AP = CQ = PQ\).
D. \(AN\,{\rm{//}}\,CM\).
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Toán 8 Chương 3 (có đáp án) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn C.
⦁ Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) và \(AB = CD.\)
Do \(M,N\) là trung điểm nên \(AM\,{\rm{//}}\,CN\) và \(AM = CN,\) chứng tỏ \(AMCN\) là hình bình hành. Từ đó suy ra \(AN\,{\rm{//}}\,CM.\) Vậy khẳng định B và D là đúng.
⦁ Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD.\) Khi đó \(O\) là trung điểm của \(AC.\)
Trong \(\Delta ADC,\) hai đường trung tuyến \(DO\) và \(AN\) cắt nhau tại \(P,\) do đó \(P\) là trọng tâm của \(\Delta ADC,\) suy ra \(DP = \frac{2}{3}DO = \frac{1}{3}BD.\)
Chứng minh tương tự, \(Q\) là trọng tâm \(\Delta ABC,\) suy ra \(BQ = \frac{1}{3}BD.\)
Khi đó \(PQ = BD - DP - BQ = \frac{1}{3}BD.\)
Vậy \(DP = PQ = QB.\) Khẳng định A là đúng.
⦁ Dễ dàng chứng minh được \[\Delta ADP = \Delta CBQ\] (c.g.c). Suy ra \[AP = CQ.\]
Tuy nhiên chưa đủ cơ sở để chứng minh hai cạnh trên có độ dài bằng \[PQ.\]
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB = BC = CD = DA = 15\) cm.
Trên tia đối của tia \(BC,\) lấy điểm \(F\) sao cho đoạn \(BF = DN.\)
Xét \(\Delta ABF\) vuông tại \(B\) và \(\Delta ADN\) vuông tại \(D\) có: \(AB = AD,\) \(BF = DN.\)
Do đó \(\Delta ABF = \Delta ADN\) (hai cạnh góc vuông).
Suy ra \(AF = AN\) và \(\widehat {{A_4}} = \widehat {{A_1}}.\)
Ta có \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_3}} = \widehat {BAD} - \widehat {{A_2}} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ .\)
Suy ra \(\widehat {FAM} = \widehat {{A_3}} + \widehat {{A_4}} = \widehat {{A_3}} + \widehat {{A_1}} = 45^\circ .\)
Xét \(\Delta FAM\) và \(\Delta NAM\) có:
\(AM\) là cạnh chung, \(\widehat {FAM} = \widehat {NAM} = 45^\circ ,\) \(AF = AN\)
Do đó \(\Delta FAM = \Delta NAM\) (c.g.c). Suy ra \(FM = MN.\)
Mà \(FM = FB + BM = DN + BM\) nên \(MN = DN + BM.\)
Chu vi của tam giác \(\Delta CMN\) là:
\(CM + CN + MN\)\( = CM + CN + DN + BM\)
\( = \left( {CM + BM} \right) + \left( {CN + DN} \right)\)
\( = BC + CD = 15 + 15 = 30\) (cm).
Đáp án: 30.
Câu 2
a. Tam giác \(AMN\) vuông cân tại \(A.\)
b. \(AH\) là tia phân giác của góc \(\widehat {DAB}.\)
c. Để ba điểm \(A,H,C\) thẳng hàng, hình chữ nhật \(ABCD\) phải là hình vuông.
d. Giả sử \(ABCD\) là hình vuông, diện tích của tam giác \(AMN\) luôn cố định và bằng chính xác một phần tư diện tích của hình vuông \(ABCD\) với mọi vị trí của \(M,N\) thỏa mãn \(AM = AN.\)
Lời giải
a) Đúng. Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat A = 90^\circ .\)
Tam giác \(AMN\) có một góc vuông và hai cạnh góc vuông \(AM = AN\) nên là tam giác vuông cân tại đỉnh \(A.\)
b) Đúng. Trong \(\Delta AMN\) cân, \(AH\) vừa là đường cao, vừa là tia phân giác của góc \(A.\)
c) Đúng. Vì \(AH\) là phân giác của góc \(A\) nên để \(A,H,C\) thẳng hàng thì đường chéo \(AC\) bắt buộc phải đóng vai trò là tia phân giác của góc \(A.\)
Một hình chữ nhật có đường chéo là đường phân giác của một góc thì hình đó là hình vuông.
d) Sai. Điểm \(M,N\) là các điểm di động trên các cạnh \(AB,AD\) nên độ dài cạnh \(AM\) thay đổi từ 0 cho đến bằng \(AB.\)
Do đó, diện tích tam giác vuông \({S_{\Delta AMN}} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN = \frac{1}{2}A{M^2}\) là một giá trị thay đổi theo vị trị của điểm \(M,N\).
Câu 3
A. \(30^\circ \).
B. \(45^\circ \).
C. \(60^\circ \).
D. \(90^\circ \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(50^\circ \).
B. \(80^\circ \).
C. \(100^\circ \).
D. \(120^\circ \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
B. \(DB\) là tia phân giác của góc \(D\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
a. Tứ giác \(AEFD\) có \(AE\,{\rm{//}}\,DF\) và \(AE = DF\) nên nó là hình bình hành, lại có \(AE = AD\) do \(AB = 2AD,\) suy ra \(AEFD\) là hình thoi.
b. \(AF\) và \(DE\) bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
c. Gọi \(M\) là giao điểm của \(AF\) và \(DE,\) \(N\) là giao điểm của \(EC\) và \(BF.\) Tứ giác \(EMFN\) là hình chữ nhật.
d. Để hình chữ nhật \(EMFN\) là hình vuông, hình bình hành \(ABCD\) ban đầu phải là hình thoi.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập