Cho hình bình hành \(ABCD.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,CD.\) Gọi \(P,Q\) lần lượt là giao điểm của đường chéo \(BD\) với \(AN,CM.\) Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \(DP = PQ = QB\).
B. Tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành.
C. \(AP = CQ = PQ\).
D. \(AN\,{\rm{//}}\,CM\).
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Toán 8 Chương 3 (có đáp án) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn C.
⦁ Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) và \(AB = CD.\)
Do \(M,N\) là trung điểm nên \(AM\,{\rm{//}}\,CN\) và \(AM = CN,\) chứng tỏ \(AMCN\) là hình bình hành. Từ đó suy ra \(AN\,{\rm{//}}\,CM.\) Vậy khẳng định B và D là đúng.
⦁ Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD.\) Khi đó \(O\) là trung điểm của \(AC.\)
Trong \(\Delta ADC,\) hai đường trung tuyến \(DO\) và \(AN\) cắt nhau tại \(P,\) do đó \(P\) là trọng tâm của \(\Delta ADC,\) suy ra \(DP = \frac{2}{3}DO = \frac{1}{3}BD.\)
Chứng minh tương tự, \(Q\) là trọng tâm \(\Delta ABC,\) suy ra \(BQ = \frac{1}{3}BD.\)
Khi đó \(PQ = BD - DP - BQ = \frac{1}{3}BD.\)
Vậy \(DP = PQ = QB.\) Khẳng định A là đúng.
⦁ Dễ dàng chứng minh được \[\Delta ADP = \Delta CBQ\] (c.g.c). Suy ra \[AP = CQ.\]
Tuy nhiên chưa đủ cơ sở để chứng minh hai cạnh trên có độ dài bằng \[PQ.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(50^\circ \).
B. \(80^\circ \).
C. \(100^\circ \).
D. \(120^\circ \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Chọn C.
Xét tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \)
Suy ra \(\widehat C + \widehat D = 360^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 360 - \left( {80^\circ + 100^\circ } \right) = 180^\circ .\)
Mà \(\widehat C - \widehat D = 20^\circ \) nên \(\widehat C = \frac{{180^\circ + 20^\circ }}{2} = 100^\circ .\)
Câu 2
a. Tứ giác \(AEFD\) có \(AE\,{\rm{//}}\,DF\) và \(AE = DF\) nên nó là hình bình hành, lại có \(AE = AD\) do \(AB = 2AD,\) suy ra \(AEFD\) là hình thoi.
b. \(AF\) và \(DE\) bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
c. Gọi \(M\) là giao điểm của \(AF\) và \(DE,\) \(N\) là giao điểm của \(EC\) và \(BF.\) Tứ giác \(EMFN\) là hình chữ nhật.
d. Để hình chữ nhật \(EMFN\) là hình vuông, hình bình hành \(ABCD\) ban đầu phải là hình thoi.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Đúng. Tứ giác \(AEFD\) có \(AE\,{\rm{//}}\,DF\) và \(AE = DF\) nên nó là hình bình hành.
Vì \(E\) là trung điểm \(AB\) và \(AB = 2AD\) nên \(AE = \frac{1}{2}AB = AD.\)
Hình bình hành \(AEFD\) có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi.
b) Sai. Hai đường chéo \(AF\) và \(DE\) của hình thoi \(AEFD\) cắt nhau tại trung điểm và vuông góc với nhau, nhưng chúng hoàn toàn không bắt buộc phải bằng nhau.
c) Đúng. Vì \(AEFD\) là hình thoi nên \(AF \bot DE,\) tức là \(\widehat {EMF} = 90^\circ .\)
Tương tự, \(BEFC\) cũng là hình thoi nên \(\widehat {ENF} = 90^\circ .\)
Dễ dàng chứng minh được tứ giác \(AECF\) là hình bình hành nên \(AF\,{\rm{//}}\,CE\).
Mà \(AF \bot DE,\) nên \(CE \bot DE\) tại \(E.\) Do đó \(\widehat {MEN} = 90^\circ .\)
Tương tự, ta có \(\widehat {MFN} = 90^\circ .\)
Tứ giác \(EMFN\) có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật.
d) Sai. Để hình chữ nhật \(EMFN\) trở thành hình vuông thì hai cạnh kề \(EM\) và \(MF\) phải bằng nhau, tức là \(DE = CE.\)
Mà \(CE = AF\) (do \(AECF\) là hình bình hành) nên ta cần \(DE = AF.\)
Hình thoi \(AEFD\) có hai đường chéo \(DE = AF\) nên nó sẽ là hình vuông.
Khi đó \(\widehat {DAB} = 90^\circ .\)
Do vậy, điều kiện đúng là hình bình hành \(ABCD\) phải là hình chữ nhật, chứ không phải hình thoi (do giả thiết \(AB = 2AD\) ngay từ đầu đã mâu thuẫn với định nghĩa hình thoi \(AB = AD\)).
Thật vậy, nếu \(ABCD\) là hình chữ nhật thì \(EMFN\) là hình vuông.
Câu 3
a. Tam giác \(AMN\) vuông cân tại \(A.\)
b. \(AH\) là tia phân giác của góc \(\widehat {DAB}.\)
c. Để ba điểm \(A,H,C\) thẳng hàng, hình chữ nhật \(ABCD\) phải là hình vuông.
d. Giả sử \(ABCD\) là hình vuông, diện tích của tam giác \(AMN\) luôn cố định và bằng chính xác một phần tư diện tích của hình vuông \(ABCD\) với mọi vị trí của \(M,N\) thỏa mãn \(AM = AN.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
B. \(DB\) là tia phân giác của góc \(D\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(15^\circ \).
B. \(30^\circ \).
C. \(45^\circ \).
D. \(60^\circ \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập