Đề kiểm tra Toán 8 Chương 3 (có đáp án) - Đề 2

Chọn C.

Xét tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \)

Suy ra \(\widehat C + \widehat D = 360^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 360 - \left( {80^\circ + 100^\circ } \right) = 180^\circ .\)

Mà \(\widehat C - \widehat D = 20^\circ \) nên \(\widehat C = \frac{{180^\circ + 20^\circ }}{2} = 100^\circ .\)

Chọn D.

⦁ Vì \(AD = AB\) nên \(\Delta ABD\) cân tại \(A,\) suy ra \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}.\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}}\) suy ra \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\).

Do đó \(DB\) là tia phân giác của góc \(D\).

⦁ Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(\widehat C = \widehat D = 60^\circ .\)

Vì \(DB\) là tia phân giác của góc \(D\) nên \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}} = \frac{1}{2}\widehat D = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ .\)

Xét \(\Delta BDC\) có \(\widehat {DBC} = 180^\circ - \left( {\widehat {{D_2}} + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {30^\circ + 60^\circ } \right) = 90^\circ .\)

Điều này chứng tỏ \(BD \bot BC.\)

⦁ Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD.\) Khi đó \(CM = DM = \frac{1}{2}CD.\)

Xét \(\Delta BDC\) vuông tại \(B\) có \(BM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(CD\) nên \(BM = \frac{1}{2}CD.\)

Như vậy, \(BM = CM\) nên \(\Delta BCM\) cân tại \(M\)

Lại có \(\widehat C = 60^\circ \) nên \(\Delta BCM\) là tam giác đều.

Suy ra \(BC = CM = \frac{1}{2}CD.\)

Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD = BC\) và theo giả thiết \(AB = AD\) nên suy ra \(AB = \frac{1}{2}CD\) hay \(CD = 2AB\).

Chọn C.

⦁ Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) và \(AB = CD.\)

Do \(M,N\) là trung điểm nên \(AM\,{\rm{//}}\,CN\) và \(AM = CN,\) chứng tỏ \(AMCN\) là hình bình hành. Từ đó suy ra \(AN\,{\rm{//}}\,CM.\) Vậy khẳng định B và D là đúng.

⦁ Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD.\) Khi đó \(O\) là trung điểm của \(AC.\)

Trong \(\Delta ADC,\) hai đường trung tuyến \(DO\) và \(AN\) cắt nhau tại \(P,\) do đó \(P\) là trọng tâm của \(\Delta ADC,\) suy ra \(DP = \frac{2}{3}DO = \frac{1}{3}BD.\)

Chứng minh tương tự, \(Q\) là trọng tâm \(\Delta ABC,\) suy ra \(BQ = \frac{1}{3}BD.\)

Khi đó \(PQ = BD - DP - BQ = \frac{1}{3}BD.\)

Vậy \(DP = PQ = QB.\) Khẳng định A là đúng.

⦁ Dễ dàng chứng minh được \[\Delta ADP = \Delta CBQ\] (c.g.c). Suy ra \[AP = CQ.\]

Tuy nhiên chưa đủ cơ sở để chứng minh hai cạnh trên có độ dài bằng \[PQ.\]

Chọn B.

Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác đó mới là hình vuông.

Chọn C.

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = BC.\)

Do đó \(\Delta ABD\) cân tại \(B,\) lại có \(\widehat A = 60^\circ \) nên \(\Delta ABD\) là tam giác đều. Suy ra \(\widehat {ADB} = 60^\circ .\)

Trong \(\Delta ABD,\) vì \(E\) là trung điểm của \(AB,\) đường trung tuyến \(DE\) đồng thời là đường cao và đường phân giác, suy ra \(\widehat {BDE} = \frac{1}{2}\widehat {ADB} = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ .\)

Tương tự, \(\Delta BCD\) cũng là tam giác đều, \(F\) là trung điểm \(BC\) nên \(\widehat {BDF} = 30^\circ .\)

Khi đó \(\widehat {EDF} = \widehat {BDE} + \widehat {BDF} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ .\)

Mặt khác, hai tam giác đều \(\Delta ABD\) và \(\Delta BCD\) bằng nhau, nên hai đường cao tương ứng \(DE\) và \(DF\) phải bằng nhau, tức là \(DE = DF.\)

Nên \(\Delta DEF\) cân tại \(D\) và có góc ở đỉnh \(\widehat {EDF} = 60^\circ ,\) do đó nó là tam giác đều.

Từ đó, ta có \(\widehat {DEF} = 60^\circ .\)

Chọn B.

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AD = AB\) và \(\widehat {DAB} = 90^\circ .\)

Vì tam giác \(ABE\) đều nên \(AB = AE\) và \(\widehat {BAE} = 60^\circ .\)

Suy ra \(AD = AE.\)

Do đó \(\widehat {DAE} = \widehat {DAB} + \widehat {BAE} = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ .\)

Xét \(\Delta ADE\) có \(AD = AE\) nên nó là tam giác cân tại \(A.\)

Suy ra \(\widehat {ADE} = \frac{{180^\circ - \widehat {DAE}}}{2} = \frac{{180^\circ - 150^\circ }}{2} = 15^\circ .\)

Mặt khác, đường chéo \(BD\) của hình vuông là tia phân giác của \(\widehat {ADC},\) nên \(\widehat {ADB} = \frac{1}{2}\widehat {ADC} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .\)

Khi đó \(\widehat {BDE} = \widehat {ADB} - \widehat {ADE} = 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ .\)