Cho biểu thức:

\[P = \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{{3^2}}} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{{4^2}}} - 1} \right) \cdot \cdot \cdot \left( {\frac{1}{{{{2021}^2}}} - 1} \right)\]

So sánh P với \[\frac{1}{2}\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

\[P = \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{{3^2}}} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{{4^2}}} - 1} \right) \cdot \cdot \cdot \left( {\frac{1}{{{{2021}^2}}} - 1} \right)\]

\[ = \frac{{1 - {2^2}}}{{{2^2}}} \cdot \frac{{1 - {3^2}}}{{{3^2}}} \cdot \frac{{1 - {4^2}}}{{{4^2}}} \cdot \cdot \cdot \frac{{1 - {{2021}^2}}}{{{{2021}^2}}}\]

\[ = \frac{{\left( {1 - 2} \right)\left( {1 + 2} \right)}}{{{2^2}}} \cdot \frac{{\left( {1 - 3} \right)\left( {1 + 3} \right)}}{{{3^2}}} \cdot \cdot \cdot \frac{{\left( {1 - 2021} \right)\left( {1 + 2021} \right)}}{{{{2021}^2}}}\]

\[ = \frac{{\left( {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdot \cdot 2020} \right) \cdot \left( {3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cdot \cdot 2022} \right)}}{{\left( {2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot 2021} \right)\left( {2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot 2021} \right)}}\]

\[ = \frac{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdot \cdot 2020}}{{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot 2021}} \cdot \frac{{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cdot \cdot 2022}}{{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot 2021}}\]

\[ = \frac{1}{{2021}} \cdot \frac{{2022}}{2} = \frac{{1011}}{{2021}} > \frac{{1011}}{{2022}} = \frac{1}{2}\]

\[P > \frac{1}{2}\]

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

0,5 m = ... cm

Xem đáp án

Lời giải

0,5 m = 50 cm.

Câu 2

Tính nhanh:

\[\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}}\]

Xem đáp án

Lời giải

\[\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}}\]

Ta nhận thấy:

\[\frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2};\frac{1}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3};\frac{1}{{12}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4};\frac{1}{{20}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5};\frac{1}{{30}} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6};\frac{1}{{42}} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7}\]

Ta có:

\[\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}}\]

\[ = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7}\]

\[ = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}.\]

Câu 3