Tính: \[S = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \frac{4}{{{2^4}}} + ... + \frac{{10}}{{{2^{10}}}}.\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: \[S = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \frac{4}{{{2^4}}} + ... + \frac{{10}}{{{2^{10}}}}\]

Suy ra \[2S = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{{{2^2}}} + \frac{4}{{{2^3}}} + ... + \frac{{10}}{{{2^9}}}\]

\[2S - S = \left( {1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{{{2^2}}} + \frac{4}{{{2^3}}} + ... + \frac{{10}}{{{2^9}}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + ... + \frac{{10}}{{{2^{10}}}}} \right)\]

\[S = 1 + \left( {\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{3}{{{2^2}}} - \frac{2}{{{2^2}}}} \right) + ... + \left( {\frac{{10}}{{{2^9}}} - \frac{9}{{{2^9}}}} \right) - \frac{{10}}{{{2^{10}}}}\]

\[S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^9}}} - \frac{{10}}{{{2^{10}}}}\]

Xét \[B = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^9}}}\]

\[2B = 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^8}}}\]

\[2B - B = \left( {2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^8}}}} \right) - \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^9}}}} \right)\]

\[B = 2 - \frac{1}{{{2^9}}}\]

Suy ra \[S = 2 - \frac{1}{{{2^9}}} - \frac{{10}}{{{2^{10}}}}.\]

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính tổng:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 97 + 99.

Xem đáp án

Lời giải

Đặt A = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 97 + 99

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 3 ‒ 1 = 2

Số số hạng của dãy số trên là: (99 ‒ 1) : 2 + 1 = 50

Vậy A = (99 + 1).50 : 2 = 2500.

Câu 2

Điền ba số tiếp theo và nêu quy luật:

1; 3; 7; 15; 31;...; ....; ....

Xem đáp án

Lời giải

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255

Quy luật: lấy tổng cộng thêm 1,vd: 7 + 7 + 1 = 15.

Câu 3