Tính: \[S = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \frac{4}{{{2^4}}} + ... + \frac{{10}}{{{2^{10}}}}.\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: \[S = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \frac{4}{{{2^4}}} + ... + \frac{{10}}{{{2^{10}}}}\]

Suy ra \[2S = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{{{2^2}}} + \frac{4}{{{2^3}}} + ... + \frac{{10}}{{{2^9}}}\]

\[2S - S = \left( {1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{{{2^2}}} + \frac{4}{{{2^3}}} + ... + \frac{{10}}{{{2^9}}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + ... + \frac{{10}}{{{2^{10}}}}} \right)\]

\[S = 1 + \left( {\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{3}{{{2^2}}} - \frac{2}{{{2^2}}}} \right) + ... + \left( {\frac{{10}}{{{2^9}}} - \frac{9}{{{2^9}}}} \right) - \frac{{10}}{{{2^{10}}}}\]

\[S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^9}}} - \frac{{10}}{{{2^{10}}}}\]

Xét \[B = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^9}}}\]

\[2B = 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^8}}}\]

\[2B - B = \left( {2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^8}}}} \right) - \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^9}}}} \right)\]

\[B = 2 - \frac{1}{{{2^9}}}\]

Suy ra \[S = 2 - \frac{1}{{{2^9}}} - \frac{{10}}{{{2^{10}}}}.\]

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm x, biết:

1 + 35 + ... + x = 3200 (x là số lẻ).

Xem đáp án

Lời giải

1 + 35 + ... + x = 3200

(x ‒ 1) : 34 + 1(x + 1) : 2 = 3200

(x ‒ 1) : 34 + (x + 1) : 2 = 3200

(x ‒ 1)(34 ‒ 2) = 3200

\[x - 1 = \frac{{3200}}{{32}}\]

x ‒ 1 = 100

x = 100 + 1 = 101.

Vậy x = 101.

Câu 2

Tìm x, biết:

\[\frac{1}{2} - \left( {x + \frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{6}\]

Xem đáp án

Lời giải

\[\frac{1}{2} - \left( {x + \frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{6}\]

\[x + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{5}{6}\]

\[x + \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}\]

\[x = - \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\]

\[x = - \frac{2}{3}\]

Vậy \[x = - \frac{2}{3}.\]

Câu 3