Chứng minh:

\[\frac{1}{3} - \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} - \frac{4}{{{3^4}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}} < \frac{3}{{16}}\].

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt \[A = \frac{1}{3} - \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} - \frac{4}{{{3^4}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\]

Suy ra \[3A = 1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{{{3^2}}} - \frac{4}{{{3^3}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{98}}}} - \frac{{100}}{{{3^{99}}}}\]

Do đó \[4A = A + 3A = \left( {\frac{1}{3} - \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}} \right) + \left( {1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{{{3^2}}} - \frac{4}{{{3^3}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{98}}}} - \frac{{100}}{{{3^{99}}}}} \right)\]

\[4A = 1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{{{3^2}}} - \frac{4}{{{3^3}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{98}}}} - \frac{{100}}{{{3^{99}}}}\]

\[ = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{3^3}}} + ... - \frac{1}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\]

Suy ra \[12A = 3 - 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{{{3^2}}} + ... - \frac{1}{{{3^{98}}}} - \frac{{100}}{{{3^{99}}}}\]

Nên \[4A + 12A = 3 - \frac{{100}}{{{3^{99}}}} - \frac{1}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}} < 3\]

Hay \[16A < 3\] suy ra \[A < \frac{3}{{16}}.\]

Vậy \[\frac{1}{3} - \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} - \frac{4}{{{3^4}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}} < \frac{3}{{16}}.\]

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm x, biết:

1 + 35 + ... + x = 3200 (x là số lẻ).

Xem đáp án

Lời giải

1 + 35 + ... + x = 3200

(x ‒ 1) : 34 + 1(x + 1) : 2 = 3200

(x ‒ 1) : 34 + (x + 1) : 2 = 3200

(x ‒ 1)(34 ‒ 2) = 3200

\[x - 1 = \frac{{3200}}{{32}}\]

x ‒ 1 = 100

x = 100 + 1 = 101.

Vậy x = 101.

Câu 2

Tìm x, biết:

\[\frac{1}{2} - \left( {x + \frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{6}\]

Xem đáp án

Lời giải

\[\frac{1}{2} - \left( {x + \frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{6}\]

\[x + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{5}{6}\]

\[x + \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}\]

\[x = - \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\]

\[x = - \frac{2}{3}\]

Vậy \[x = - \frac{2}{3}.\]

Câu 3