Chứng minh:
\[\frac{1}{3} - \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} - \frac{4}{{{3^4}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}} < \frac{3}{{16}}\].
Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đặt \[A = \frac{1}{3} - \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} - \frac{4}{{{3^4}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\]
Suy ra \[3A = 1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{{{3^2}}} - \frac{4}{{{3^3}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{98}}}} - \frac{{100}}{{{3^{99}}}}\]
Do đó \[4A = A + 3A = \left( {\frac{1}{3} - \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}} \right) + \left( {1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{{{3^2}}} - \frac{4}{{{3^3}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{98}}}} - \frac{{100}}{{{3^{99}}}}} \right)\]
\[4A = 1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{{{3^2}}} - \frac{4}{{{3^3}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{98}}}} - \frac{{100}}{{{3^{99}}}}\]
\[ = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{3^3}}} + ... - \frac{1}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\]
Suy ra \[12A = 3 - 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{{{3^2}}} + ... - \frac{1}{{{3^{98}}}} - \frac{{100}}{{{3^{99}}}}\]
Nên \[4A + 12A = 3 - \frac{{100}}{{{3^{99}}}} - \frac{1}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}} < 3\]
Hay \[16A < 3\] suy ra \[A < \frac{3}{{16}}.\]
Vậy \[\frac{1}{3} - \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} - \frac{4}{{{3^4}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}} < \frac{3}{{16}}.\]
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đặt A = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 97 + 99
Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 3 ‒ 1 = 2
Số số hạng của dãy số trên là: (99 ‒ 1) : 2 + 1 = 50
Vậy A = (99 + 1).50 : 2 = 2500.
Lời giải
Đặt \[A = \frac{1}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{35}} + \frac{1}{{63}} + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{143}} + \frac{1}{{195}}\]
\[2A = \frac{2}{3} + \frac{2}{{15}} + \frac{2}{{35}} + \frac{2}{{63}} + \frac{2}{{99}} + \frac{2}{{143}} + \frac{2}{{195}}\]
\[ = \frac{2}{{1 \cdot 3}} + \frac{2}{{3 \cdot 5}} + \frac{2}{{5 \cdot 7}} + \frac{2}{{7 \cdot 9}} + \frac{2}{{9 \cdot 11}} + \frac{2}{{11 \cdot 13}} + \frac{2}{{13 \cdot 15}}\]
\[ = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{11}} - \frac{1}{{13}} + \frac{1}{{13}} - \frac{1}{{15}}\]
\[ = 1 - \frac{1}{{15}} = \frac{{14}}{{15}}\]
Suy ra \[A = \frac{{14}}{{15}}:2 = \frac{7}{{15}}.\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập