Tồn tại bao nhiêu số dương \(m\) để đường thẳng đi qua \(2\) điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \left( {m + 1} \right){x^3} - \left( {m + 2} \right){x^2} + 3m - 2\) cắt và tạo với hai tia \(Ox,Oy\) một tam giác có diện tích bằng \(\frac{9}{4}\)?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải: Lấy \(y\) chia \(y'\) ta được dư là đường thẳng đi qua \(2\) điểm cực trị.
Giải chi tiết:
Ta có: \(y' = 3\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x\)
Hàm số có \(2\) cực trị \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 1 \ne 0}\\{{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne - 1}\\{m \ne - 2}\end{array}} \right.\)
Lấy \(y\) chia \(y'\) ta được:
\(y = \left[ {3\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x} \right]\left( {\frac{1}{3}x - \frac{{m + 2}}{{9\left( {m + 1} \right)}}} \right) - \frac{2}{9}\frac{{{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2}}}{{\left( {m{\rm{ + }}1} \right)}}x + 3m - 2\)
Do đó đường thẳng qua \(2\) điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình
\(d:y = - \frac{2}{9}\frac{{{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2}}}{{\left( {m{\rm{ + }}1} \right)}}x + 3m - 2\)
\(d \cap Ox = A\left( {\frac{{9\left( {3m - 2} \right)\left( {m + 1} \right)}}{{2{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2}}};0} \right),d \cap Oy = B\left( {0;3m - 2} \right)\left( {m > \frac{2}{3}} \right)\).
\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {3m - 2} \right)}^2}\left( {m + 1} \right)}}{{{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2}}} = 1 \Leftrightarrow 9{m^3} - 4{m^2} - 12m = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \frac{2}{9} + \frac{{4\sqrt 7 }}{9}}\\{m = \frac{2}{9} - \frac{{4\sqrt 7 }}{9}}\\{m = 0}\end{array}} \right.\).
Vậy tồn tại \(1\) số dương \(m\) thỏa bài toán.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án: 1
Phương pháp giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{2x + m}}{{x + 1}} = 1 - x \Leftrightarrow {x^2} + 2x + m - 1 = 0\).
Giải chi tiết:
Điều kiện \(x \ne - 1\).
Phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{2x + m}}{{x + 1}} = 1 - x \Leftrightarrow {x^2} + 2x + m - 1 = 0\left( * \right)\).
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\).
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - \left( {m - 1} \right) > 0}\\{1 - 2 + m - 1 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 2}\\{m \ne 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m < 2\).
Vì \(m\) nguyên dương nên có 1 giá trị của \(m\) thoả mãn
Câu 2
Lời giải
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị, ta có các nhận xét về cực trị, về giao điểm với các trục, về tập giá trị từ đó xét dấu \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c,{\rm{ }}d.\]
Giải chi tiết:
Dựa vào đồ thị, ta có các nhận xét.
Dựa vào dáng điệu đồ thị, ta suy ra \(a < 0\).
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương suy ra \(d > 0\).
Hàm số có các điểm cực trị \(x = 1\) và \(x = - 2\) nên phương trình \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c = 0\) có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = - 2\). Ta có \(\frac{{ - 2b}}{{3a}} = - 1\) và \(\frac{c}{{3a}} = - 2\). Do đó \(b < 0\) và \(c > 0\).
Như vậy \(ab > 0,bc < 0\) và \(cd > 0\).
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập