Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài tất cả các cạnh đều bằng \(a > 0\) và \(\widehat {BAD} = \widehat {DAA'} = \widehat {A'AB} = {60^0}\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AA',CD\). Chứng minh \(MN\) song song với mặt phẳng \(\left( {A'C'D} \right)\) và tính cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng \(NM\) và \(B'C\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải: \({\rm{cos}}\left( {MN,CB'} \right) = \left| {\cos \widehat {DA'I}} \right|\)
Giải chi tiết:
Gọi \(I\) là trung điểm của \(DC'\).
Trong tam giác \(CDC'\) có \(NI\) là đường trung bình của tam giác, nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{NI\parallel CC'}\\{NI = \frac{1}{2}CC'}\end{array}} \right.\).
Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CC'\parallel AA'}\\{CC' = AA'}\end{array}} \right.\) (tính chất hình hộp)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{NI\parallel AA'}\\{NI = \frac{1}{2}AA'}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{NI\parallel MA'}\\{NI = MA'}\end{array}} \right.\).
Vậy tứ giác \(MNIA'\) là hình bình hành nên \(MN\parallel IA'\).
Mà \(IA' \subset \left( {A'C'D} \right) \Rightarrow MN\parallel \left( {A'C'D} \right)\).
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{MN\parallel IA'}\\{CB'\parallel DA'}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {\widehat {CB',MN}} \right) = \left( {\widehat {DA',IA'}} \right) = \widehat {DA'I}\)hoặc \({180^0} - \widehat {DA'I}\).
Ta có tam giác \(DAA'\) đều nên \(DA' = a\).
Xét \({\rm{\Delta }}ABC\) có:\(\widehat {ABC} = {\rm{\;}}{120^0};A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot {\rm{cos}}{120^0} = 3{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \).
Tương tự, áp dụng định lý cosin cho \({\rm{\Delta }}A'AB'\) ta có \(AB' = a\sqrt 3 \).
Ta có \(AC = A'C' = a\sqrt 3 ,AB' = DC' = a\sqrt 3 \).
Trong \({\rm{\Delta }}DA'C'\) có \(A'I\) là đường trung tuyến:
\(I{A'^2} = \frac{{D{{A'}^2} + A'{{C'}^2}}}{2} - \frac{{D{{C'}^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + 3{a^2}}}{2} - \frac{{3{a^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{4} \Rightarrow IA' = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}{\rm{.}}\)
Trong \({\rm{\Delta }}A'DI\) ta có: \({\rm{cos}}\widehat {DA'I} = \frac{{D{{A'}^2} + I{{A'}^2} - D{I^2}}}{{2 \cdot DA' \cdot IA'}} = \frac{3}{{2\sqrt 5 }} > 0\).
Kết luận: \({\rm{cos}}\left( {MN,CB'} \right) = \left| {\cos \widehat {DA'I}} \right| = \frac{3}{{2\sqrt 5 }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án: 1
Phương pháp giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{2x + m}}{{x + 1}} = 1 - x \Leftrightarrow {x^2} + 2x + m - 1 = 0\).
Giải chi tiết:
Điều kiện \(x \ne - 1\).
Phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{2x + m}}{{x + 1}} = 1 - x \Leftrightarrow {x^2} + 2x + m - 1 = 0\left( * \right)\).
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\).
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - \left( {m - 1} \right) > 0}\\{1 - 2 + m - 1 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 2}\\{m \ne 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m < 2\).
Vì \(m\) nguyên dương nên có 1 giá trị của \(m\) thoả mãn
Câu 2
Lời giải
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị, ta có các nhận xét về cực trị, về giao điểm với các trục, về tập giá trị từ đó xét dấu \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c,{\rm{ }}d.\]
Giải chi tiết:
Dựa vào đồ thị, ta có các nhận xét.
Dựa vào dáng điệu đồ thị, ta suy ra \(a < 0\).
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương suy ra \(d > 0\).
Hàm số có các điểm cực trị \(x = 1\) và \(x = - 2\) nên phương trình \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c = 0\) có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = - 2\). Ta có \(\frac{{ - 2b}}{{3a}} = - 1\) và \(\frac{c}{{3a}} = - 2\). Do đó \(b < 0\) và \(c > 0\).
Như vậy \(ab > 0,bc < 0\) và \(cd > 0\).
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập