Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài tất cả các cạnh đều bằng \(a > 0\) và \(\widehat {BAD} = \widehat {DAA'} = \widehat {A'AB} = {60^0}\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AA',CD\). Chứng minh \(MN\) song song với mặt phẳng \(\left( {A'C'D} \right)\) và tính cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng \(NM\) và \(B'C\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải: \({\rm{cos}}\left( {MN,CB'} \right) = \left| {\cos \widehat {DA'I}} \right|\)
Giải chi tiết:
Gọi \(I\) là trung điểm của \(DC'\).
Trong tam giác \(CDC'\) có \(NI\) là đường trung bình của tam giác, nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{NI\parallel CC'}\\{NI = \frac{1}{2}CC'}\end{array}} \right.\).
Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CC'\parallel AA'}\\{CC' = AA'}\end{array}} \right.\) (tính chất hình hộp)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{NI\parallel AA'}\\{NI = \frac{1}{2}AA'}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{NI\parallel MA'}\\{NI = MA'}\end{array}} \right.\).
Vậy tứ giác \(MNIA'\) là hình bình hành nên \(MN\parallel IA'\).
Mà \(IA' \subset \left( {A'C'D} \right) \Rightarrow MN\parallel \left( {A'C'D} \right)\).
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{MN\parallel IA'}\\{CB'\parallel DA'}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {\widehat {CB',MN}} \right) = \left( {\widehat {DA',IA'}} \right) = \widehat {DA'I}\)hoặc \({180^0} - \widehat {DA'I}\).
Ta có tam giác \(DAA'\) đều nên \(DA' = a\).
Xét \({\rm{\Delta }}ABC\) có:\(\widehat {ABC} = {\rm{\;}}{120^0};A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot {\rm{cos}}{120^0} = 3{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \).
Tương tự, áp dụng định lý cosin cho \({\rm{\Delta }}A'AB'\) ta có \(AB' = a\sqrt 3 \).
Ta có \(AC = A'C' = a\sqrt 3 ,AB' = DC' = a\sqrt 3 \).
Trong \({\rm{\Delta }}DA'C'\) có \(A'I\) là đường trung tuyến:
\(I{A'^2} = \frac{{D{{A'}^2} + A'{{C'}^2}}}{2} - \frac{{D{{C'}^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + 3{a^2}}}{2} - \frac{{3{a^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{4} \Rightarrow IA' = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}{\rm{.}}\)
Trong \({\rm{\Delta }}A'DI\) ta có: \({\rm{cos}}\widehat {DA'I} = \frac{{D{{A'}^2} + I{{A'}^2} - D{I^2}}}{{2 \cdot DA' \cdot IA'}} = \frac{3}{{2\sqrt 5 }} > 0\).
Kết luận: \({\rm{cos}}\left( {MN,CB'} \right) = \left| {\cos \widehat {DA'I}} \right| = \frac{3}{{2\sqrt 5 }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Phương pháp giải:
- Xem lại nội dung Trật tự thế giới sau Chiến tranh Lạnh.
- Xác định quan hệ quốc tế trong những năm đầu thế kỷ XXI.
Giải chi tiết:
Các nước có tiềm lực kinh tế, quân sự mạnh đóng vai trò chi phối quan hệ quốc tế phản ánh đúng quan hệ quốc tế trong những năm đầu thế kỷ XXI.
Đáp án cần chọn là: B
Câu 2
Lời giải
Phương pháp giải:
Vận dụng kiến thức đã học về thí nghiệm trên operon Lac của E. coli.
Giải chi tiết:
Trong môi trường có lactose, tế bào vi khuẩn tổng hợp mạnh các enzyme β-galactosidase, permease và transacetylase. Điều này chứng tỏ lactose đóng vai trò chất cảm ứng, giúp hoạt hoá operon lac và kích thích biểu hiện các gene liên quan.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập