Tìm \(m\) để mọi \(x \in \left[ { - 1;1} \right]\) đều là nghiệm của bất phương trình:
\(3{x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x - {m^2} + 2m + 8 \le 0\left( 1 \right)\)

Phương pháp giải: Tìm nghiệm của biểu thức và xét dấu.

Giải chi tiết:

Xét phương trình bậc hai: \(3{x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x - {m^2} + 2m + 8 = 0\)

\({\rm{\Delta '}} = {\left( {2m{\rm{ + }}1} \right)^2}\)

\({x_1} = \frac{{\left( {m + 5} \right) + \sqrt {{{\left( {2m{\rm{ + }}1} \right)}^2}} }}{3} = \frac{{m + 5 + 2m + 1}}{3} = \frac{{3m + 6}}{3} = m + 2\)

\({x_2} = \frac{{\left( {m + 5} \right) - \sqrt {{{\left( {2m{\rm{ + }}1} \right)}^2}} }}{3} = \frac{{m + 5 - \left( {2m + 1} \right)}}{3} = \frac{{m + 5 - 2m - 1}}{3} = \frac{{4 - m}}{3}\)

TH1: \(m + 2 > \frac{{4 - m}}{3}\)

    \( \Leftrightarrow 3m + 6 > 4 - m \Leftrightarrow m > - \frac{1}{2}\)

Khi đó, tập nghiệm của bất phương trình \(\left( 1 \right)\) là: \(S = \left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right]\)

Để mọi \(x \in \left[ { - 1;1} \right]\) đều là nghiệm của bất phương trình \(\left( 1 \right)\) thì:

\(\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \ge \frac{{4 - m}}{3}}\\{1 \le m + 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 7}\\{m \ge - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ge 7\)

Kết hợp với điều kiện \(m > - \frac{1}{2}\), ta có \(m \ge 7\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TH2: \(m + 2 < \frac{{4 - m}}{3}\)

                               \( \Leftrightarrow m < - \frac{1}{2}\)

Khi đó, tập nghiệm của bất phương trình \(\left( 1 \right)\) là: \(S = \left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right]\)

Để mọi \(x \in \left[ { - 1;1} \right]\) đều là nghiệm của bất phương trình \(\left( 1 \right)\) thì:

\(\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \ge m + 2}\\{1 \le \frac{{4 - m}}{3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le - 3}\\{m \le 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le - 3\)

Kết hợp với điều kiện \(m < - \frac{1}{2}\), ta có \(m \le - 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Th3: \(m = - \frac{1}{2}\)

Khi đó \(m + 2 = \frac{{4 - m}}{3} = \frac{3}{2}\).

Bất phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(3{\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).

Nghiệm này không chứa khoảng \(\left[ { - 1;1} \right]\) nên \(m = - \frac{1}{2}\) không thỏa mãn.

Vậy giá trị \(m\) cần tìm là \(m \in \left( { - \infty ; - 3\left] \cup \right[7; + \infty } \right)\).