Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{3}\) và hai điểm \(A\left( {2;0;3} \right)\), \(B\left( {2; - 2; - 3} \right)\). Biết điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thuộc \(d\) thỏa mãn \(P = M{A^4} + M{B^4} + M{A^2} \cdot M{B^2}\) nhỏ nhất. Tìm \({y_0}\).

Đáp án: ____

Đáp án: \( - 1.\)

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức \(P\):

\(P = M{A^4} + M{B^4} + M{A^2} \cdot M{B^2} = {\left( {M{B^2} - M{A^2}} \right)^2} + 3M{A^2} \cdot M{B^2}\)

Giải chi tiết:

Vì \(M \in d\) nên tọa độ điểm \(M\) có dạng \(M\left( {t + 3;2t + 1;3t + 3} \right)\).

Suy ra:

          \(\overrightarrow {MA} = \left( { - t - 1; - 2t - 1; - 3t} \right)\)

        \(\overrightarrow {MB} = \left( { - t - 1; - 2t - 3; - 3t - 6} \right)\)

Tính bình phương độ dài các đoạn thẳng:

\(M{A^2} = {\left( {t{\rm{ + }}1} \right)^2} + {\left( {2t{\rm{ + }}1} \right)^2} + 9{t^2} = 14{t^2} + 6t + 2\) (1)

\(M{B^2} = {\left( {t{\rm{ + }}1} \right)^2} + {\left( {2t{\rm{ + }}3} \right)^2} + {\left( {3t{\rm{ + }}6} \right)^2} = 14{t^2} + 50t + 46\)(2)

Biến đổi biểu thức \(P\):

\(P = M{A^4} + M{B^4} + M{A^2} \cdot M{B^2} = {\left( {M{B^2} - M{A^2}} \right)^2} + 3M{A^2} \cdot M{B^2}\)

Thay \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] vào \(P\) ta được:

\(P = {\left( {44t{\rm{ + }}44} \right)^2} + 3\left( {14{t^2} + 6t + 2} \right)\left( {14{t^2} + 50t + 46} \right)\)

\(P = {44^2}{\left( {t{\rm{ + }}1} \right)^2} + 3\left[ {14{{\left( {t{\rm{ + }}1} \right)}^2} + 10 - 22\left( {t + 1} \right)} \right]\left[ {14{{\left( {t{\rm{ + }}1} \right)}^2} + 10 + 22\left( {t + 1} \right)} \right]\)

\(P = 1936{\left( {t{\rm{ + }}1} \right)^2} + 3\left\{ {{{\left[ {14{{\left( {t{\rm{ + }}1} \right)}^2}{\rm{ + }}10} \right]}^2} - {{22}^2}{{\left( {t{\rm{ + }}1} \right)}^2}} \right\}\)

\(P = 1936{\left( {t{\rm{ + }}1} \right)^2} + 3\left[ {196{{\left( {t{\rm{ + }}1} \right)}^4} + 280{{\left( {t{\rm{ + }}1} \right)}^2} + 100 - 484{{\left( {t{\rm{ + }}1} \right)}^2}} \right]\)

\(P = 588{\left( {t{\rm{ + }}1} \right)^4} + 1324{\left( {t{\rm{ + }}1} \right)^2} + 300\).

Đặt \(u = {\left( {t{\rm{ + }}1} \right)^2},u \ge 0 \Rightarrow P = 588{u^2} + 1324u + 300,u \ge 0\).

Xét hàm số \(f\left( u \right) = 588{u^2} + 1324u + 300,u \ge 0\) có \(f'\left( u \right) = 1176u + 1324 > 0,\forall u \ge 0\).

Do đó \(f\left( u \right) \ge f\left( 0 \right),\forall u \ge 0\).

Ta được \({P_{min}} = f\left( 0 \right) = 300\) khi \(u = 0 \Rightarrow t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\).

Với \(t = - 1\), ta có \({y_0} = 2\left( { - 1} \right) + 1 = - 1\).

Vậy \({y_0} = - 1\).