Trong không gian \(Oxyz\) cho các điểm \(A\left( {5;1;5} \right)\), \(B\left( {4;3;2} \right)\), \(C\left( { - 3; - 2;1} \right)\). Điểm \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Tính \(a + 2b + c\)?

Phương pháp giải:

\(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {IM} \bot \overrightarrow {AB} }\\{\overrightarrow {IN} \bot \overrightarrow {AC} }\\{I \in \left( {ABC} \right)}\end{array}} \right.\)

Giải chi tiết:

Cách 1: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;2; - 3} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 8; - 3; - 4} \right)\).

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(AB,AC \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M\left( {\frac{9}{2};2;\frac{7}{2}} \right)}\\{N\left( {1; - \frac{1}{2};3} \right)}\end{array}} \right.\).

Gọi \(\vec n\) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC) \Rightarrow \vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - 17;20;19} \right)\).

\(\left( {ABC} \right): - 17x + 20y + 19z - 30 = 0\).

\(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {IM} \bot \overrightarrow {AB} }\\{\overrightarrow {IN} \bot \overrightarrow {AC} }\\{I \in \left( {ABC} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\frac{9}{2} - a} \right).\left( { - 1} \right) + \left( {2 - b} \right).2 + \left( {\frac{7}{2} - c} \right).\left( { - 3} \right) = 0}\\{\left( {1 - a} \right).\left( { - 8} \right) + \left( { - \frac{1}{2} - b} \right).\left( { - 3} \right) + \left( {3 - c} \right).\left( { - 4} \right) = 0}\\{ - 17a + 20b + 19c - 30 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - 2b + 3c = 11}\\{8a + 3b + 4c = \frac{{37}}{2}}\\{ - 17a + 20b + 19c = 30}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = - \frac{1}{2}}\\{c = 3}\end{array}} \right.\).

Vậy \(a + 2b + c = 1 + 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 3 = 3\).

Cách 2:

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;2; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 7; - 5; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Rightarrow {\rm{\Delta }}ABC\) vuông tại \(B\).

Vì \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ABC\] nên \(I\) là trung điểm của \(AC\).

Vậy \(I\left( {1;{\mkern 1mu} - \frac{1}{2};{\mkern 1mu} 3} \right) \Rightarrow a + 2b + c = 1 + 2 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) + 3 = 3\)