Một hãng chế tác đồng hồ có quy trình sản xuất tuân theo công thức \(Q = \sqrt {KL} \) (gọi là công thức Cobb-Douglas), trong đó \(Q\) là số chiếc đồng hồ chế tác ra được, \(K\) là số đơn vị vốn (máy móc, thiết bị), \(L\) là số đơn vị lao động (thợ chế tác) mà hãng đó thuê được. Khi đó biểu thức \(F = 16K + 9L + 40\) mô tả tổng chi phí mà hãng đó phải bỏ ra (đơn vị: nghìn USD). Năm 2025, để kỷ niệm 160 năm thành lập, hãng quyết định chế tác 160 chiếc đồng hồ phiên bản giới hạn toàn cầu.

Đáp án:

Chọn gốc tọa độ \(M\left( {0;0} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AB\), trục \(Ox\) trùng với đường thẳng \(AB\) và trục \(Oy\) vuông góc với \(AB\) hướng về phía cạnh \(CD\) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét).

• Điểm xuất phát của robot là \(M\left( {0;0} \right)\).
• Cạnh \(CD\) nằm trên đường thẳng \(y = 200\). Điểm đích là \(N\left( {{x_0};200} \right)\) với \( - 100 \le {x_0} \le 100\). Do tính chất đối xứng, ta chỉ cần xét \(0 \le {x_0} \le 100\).
• Bãi cát hình chữ nhật đối xứng qua trục \(Oy\), giới hạn bởi:
  • Chiều rộng (nằm ngang): từ \(x = - 40\) đến \(x = 40\).
  • Chiều dài (thẳng đứng): từ \(y = 40\) đến \(y = 160\) (vì bãi cát ở chính giữa khu đất, cách mỗi cạnh \(AB,CD\) một khoảng \(\frac{{200 - 120}}{2} = 40{\rm{\;m}}\)).

\(y = \frac{{200}}{{{x_0}}}x \Leftrightarrow x = \frac{{{x_0}}}{{200}}y\).

Đường thẳng \(MN\) đi vào bãi cát tại biên dưới \(y = 40\), hoành độ giao điểm là: \({x_1} = \frac{{40{x_0}}}{{200}} = \frac{{{x_0}}}{5}\).

Vì \(0 \le {x_0} \le 100\) nên \(0 \le {x_1} \le 20 \le 40\) (luôn đi vào từ cạnh đáy của bãi cát).

Đường thẳng \(MN\) sẽ đi ra khỏi bãi cát theo 2 trường hợp:

Trường hợp 1: \(0 \le {x_0} \le 50\)

Đường thẳng đi ra ở cạnh trên \(y = 160\).

• Quãng đường đi trên cát chiếm tỉ lệ cố định bằng \(\frac{{160 - 40}}{{200}} = \frac{3}{5}\) tổng quãng đường \(MN\).
• Thời gian đi toàn bộ hành trình là: \(t\left( {{x_0}} \right) = \frac{{\frac{2}{5}MN}}{3} + \frac{{\frac{3}{5}MN}}{2} = \frac{{13}}{{30}}MN = \frac{{13}}{{30}}\sqrt {x_0^2 + 40000} \).
• Hàm số này đồng biến trên \(\left[ {0;50} \right]\), đạt giá trị nhỏ nhất tại \({x_0} = 0\):

Trường hợp 2: \(50 < {x_0} \le 100\)

Đường thẳng đi ra ở cạnh bên \(x = 40\). Điểm ra có tung độ \({y_2} = \frac{{8000}}{{{x_0}}}\).

• Chiều dài đoạn đường đi trong cát là:

• Tổng thời gian di chuyển trong trường hợp này là:

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{9x + 200}}{x}\sqrt {{x^2} + 40000} \) trên khoảng \(\left( {50,100} \right]\):

Ta có \(g'\left( x \right) = \frac{{9{x^3} - 8000000}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 40000} }}\).

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 9{x^3} = 8000000 \Leftrightarrow x = \frac{{200}}{{\sqrt[3]{9}}} \approx 96,15{\rm{\;m}}\) (thỏa mãn thuộc khoảng đang xét).

Thay giá trị \({x_0} \approx 96,15\) vào công thức tính thời gian \(t\left( {{x_0}} \right)\): \(a = t\left( {96,15} \right) \approx 81,95995{\rm{\;gi\^a y}}\).

Khi đó, giá trị của \(100a\) là: \(100a = 100 \times 81,95995 = 8195,995\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta được 8196.

Đáp án: 8196.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm \(f'\left( x \right) > 0\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 5} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 5} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Đối chiếu với các phương án đưa ra, khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) là khoảng đồng biến của hàm số.

Chọn A.