Một công ty ước tính rằng nếu sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm (\(0 \le x \le 24\)) thì sẽ có doanh thu biên \(R'\left( x \right) = 278 - 2x\) USD và chi phí biên \(C'\left( x \right) = \frac{6}{5}{x^2} - 2x + 8\) USD. Các hàm doanh thu biên và chi phí biên lần lượt là đạo hàm của hàm doanh thu \[R\left( x \right)\] và hàm chi phí \(C\left( x \right)\), dùng để biểu diễn tốc độ thay đổi của doanh thu và chi phí theo số lượng đơn vị sản phẩm.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) (\(a \ne 0\)) có đồ thị như hình vẽ và \(a,b,c,d\) là các số thực.

Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) (với \(c \ne 0;\,ad - bc \ne 0\)) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\) trong hình vẽ. Biết rằng \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;1} \right)\), tính \(f'\left( 0 \right)\).

Một hãng ô tô A đưa sản phẩm ô tô thể thao của họ ra chạy thử trước khi mở bán. Tại thời điểm ban đầu \(t = 0\), chiếc xe đứng yên. Sau đó chiếc xe nổ máy và tăng tốc rất nhanh. Sử dụng máy bắn tốc độ, người ta đo được tốc độ tức thời của chiếc xe tại các thời điểm 1 giây, 2 giây và 3 giây cho trong bảng sau:

Biết rằng tốc độ tức thời của chiếc xe đó (đơn vị mét/giây) trong 5 giây đầu tiên kể từ khi xuất phát được biểu diễn bởi hàm số bậc ba \(v\left( t \right) = a{t^3} + b{t^2} + ct + d\) với \(a,b,c,d\) là các số thực và \(a \ne 0\). Hỏi tại thời điểm 5 giây, tốc độ của xe theo đơn vị mét/giây là bao nhiêu?

Một trạm kiểm soát không lưu \(X\) nhận tín hiệu hai máy bay đang di chuyển. Khi gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc tọa độ \(O\) tại trạm kiểm soát, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) ứng với mặt đất, trục cao \(Oz\) hướng lên trên, mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với 1 km, tại một thời điểm, người ta quan sát thấy máy bay thứ nhất đang ở điểm \(A\left( {100;150;10} \right)\), bay theo hướng vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 4;0} \right)\) với vận tốc không đổi \(800\) km/h. Cùng thời điểm đó, máy bay thứ hai đang ở điểm \(B\left( { - 100;100;11} \right)\), bay theo hướng vectơ \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {4;3;0} \right)\) với vận tốc không đổi \(750\) km/h. Biết rằng sau \(T\) phút kể từ thời điểm quan sát, khoảng cách hai máy bay đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm \(T\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\left( d \right):\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 6 = 0\). Gọi giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(M\). Gọi \({\rm{\Delta }}\) là đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), đi qua \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d\). Biết \({\rm{\Delta }}\) đi qua điểm \(N\left( {2;b;c} \right)\), tính tích \(T = b \cdot c\).