Một trạm kiểm soát không lưu \(X\) nhận tín hiệu hai máy bay đang di chuyển. Khi gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc tọa độ \(O\) tại trạm kiểm soát, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) ứng với mặt đất, trục cao \(Oz\) hướng lên trên, mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với 1 km, tại một thời điểm, người ta quan sát thấy máy bay thứ nhất đang ở điểm \(A\left( {100;150;10} \right)\), bay theo hướng vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 4;0} \right)\) với vận tốc không đổi \(800\) km/h. Cùng thời điểm đó, máy bay thứ hai đang ở điểm \(B\left( { - 100;100;11} \right)\), bay theo hướng vectơ \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {4;3;0} \right)\) với vận tốc không đổi \(750\) km/h. Biết rằng sau \(T\) phút kể từ thời điểm quan sát, khoảng cách hai máy bay đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm \(T\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đổi vận tốc sang đơn vị km/phút:
- Vận tốc máy bay 1: \({v_1} = \frac{{800}}{{60}} = \frac{{40}}{3}\) km/phút.
- Vận tốc máy bay 2: \({v_2} = \frac{{750}}{{60}} = \frac{{25}}{2}\) km/phút.
Vectơ chỉ phương đơn vị (chỉ hướng chuyển động):
- Máy bay 1: \(\left| {{{\vec u}_1}} \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5 \Rightarrow {\vec e_1} = \left( {\frac{3}{5}; - \frac{4}{5};0} \right)\).
- Máy bay 2: \(\left| {{{\vec u}_2}} \right| = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5 \Rightarrow {\vec e_2} = \left( {\frac{4}{5};\frac{3}{5};0} \right)\).
Vectơ vận tốc theo thời gian \(t\) (phút):
- \({\vec v_1} = {v_1} \cdot {\vec e_1} = \frac{{40}}{3} \cdot \left( {\frac{3}{5}; - \frac{4}{5};0} \right) = \left( {8; - \frac{{32}}{3};0} \right)\).
- \({\vec v_2} = {v_2} \cdot {\vec e_2} = \frac{{25}}{2} \cdot \left( {\frac{4}{5};\frac{3}{5};0} \right) = \left( {10;\frac{{15}}{2};0} \right)\).
Tọa độ của hai máy bay sau \(t\) phút: \({M_1}\left( {100 + 8t;150 - \frac{{32}}{3}t;10} \right)\); \({M_2}\left( { - 100 + 10t;100 + \frac{{15}}{2}t;11} \right)\).
Vectơ nối hai máy bay \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 200 + 2t; - 50 + \frac{{109}}{6}t;1} \right)\).
Bình phương khoảng cách \({d^2} = {\left( { - 200 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 50 + \frac{{109}}{6}t} \right)^2} + 1\).
Để \({d^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì đạo hàm theo \(t\) phải bằng 0:
\({\left[ {{d^2}\left( t \right)} \right]^\prime } = 2\left( {2t - 200} \right) \cdot 2 + 2\left( {\frac{{109}}{6}t - 50} \right) \cdot \frac{{109}}{6} = 0\)\( \Leftrightarrow 8t - 800 + 2 \cdot \frac{{11881}}{{36}}t - \frac{{5450}}{3} = 0 \Rightarrow t \approx 3,9{\rm{\;ph\'u t}}\).
Đáp án: 3,9.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(a + b + c + d = - 2\).
B. \(a + b + c + d = 4\).
C. \(a + b + c + d = 2\).
D. \(a + b + c + d = - 4\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Giá trị của biểu thức \(a + b + c + d\) chính là giá trị của hàm số tại \(x = 1\), tức là \(f\left( 1 \right)\).
Quan sát đồ thị hàm số, tại vị trí \(x = 1\), điểm trên đồ thị có tung độ tương ứng là \(y = 2\) (đây cũng chính là điểm cực đại của đồ thị).
Vậy \(f\left( 1 \right) = a + b + c + d = 2\).
Chọn C.
Câu 2
A. \(x = 2\).
B. \(x = - 1\).
C. \(y = - 1\).
D. \(y = 2\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ có dạng đường thẳng nằm ngang \(y = {y_0}\).
Quan sát đồ thị, đường tiệm cận ngang là đường nét đứt cắt trục tung \(Oy\) tại điểm có tung độ bằng \(2\). Do đó phương trình đường tiệm cận ngang là \(y = 2\).
Chọn D.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. −2.
B. −1.
C. 2.
D. 1.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a. Đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị \(\left( C \right)\).
b. Đồ thị \(\left( C \right)\) cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - \frac{1}{2}} \right)\).
c. Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai điểm cực trị của hàm số. Khi đó \({x_1} + {x_2} = - 4\).
d. Điểm \(I\left( {2;1} \right)\) là tâm đối xứng của đồ thị \(\left( C \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
a. Tại thời điểm Bảo thực hiện cú đập cầu, quả cầu đang ở độ cao 2 mét tính từ mặt đất.
b. Biết rằng sân cầu lông trong giải đấu có chiều dài 13 mét và lưới cầu nằm trên một mặt phẳng vuông góc với sân, chia sân theo chiều dài thành hai nửa bằng nhau như trong hình vẽ. Phương trình mặt phẳng chứa lưới cầu là \(x = \frac{{13}}{2}\).
c. Biết vectơ vận tốc \(\vec v\) của quả cầu ngược hướng với \(\vec u\) và có độ lớn là \(\sqrt {129} \) m/s, ta có \(\vec v = \left( { - 11;2; - 2} \right)\).
d. Biết rằng lưới cầu được căng ra thành một hình chữ nhật có chiều rộng 0,8 mét, mép dưới của lưới cách mặt đất 0,75 mét, quả cầu đã bị lưới chặn lại trên đường bay.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập