Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(O\) nằm trên mặt nước, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là mặt nước, trục \(Oz\) hướng lên trên (đơn vị đo trên mỗi trục bằng 1 mét trên thực tế), một con chim bói cá đang ở vị trí \(C\) cách mặt nước 2 m, cách mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\), \(\left( {Oyz} \right)\) lần lượt là 3 m và 1 m phóng thẳng xuống vị trí con cá (điểm \(A\)) cách mặt nước 50 cm và cách mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\), \(\left( {Oyz} \right)\) lần lượt là 1 m và 1,5 m. Tọa độ của chim bói cá lúc vừa tiếp xúc với mặt nước (điểm \(B\)) là \(\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(a + b + c\).

Đáp án:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\).

Từ công thức hàm số, tiệm cận đứng là \(x = - c \Rightarrow - c = 1 \Rightarrow c = - 1\).

Đường tiệm cận xiên của hàm số là \(y = ax + b\).

Nhìn trên hình vẽ, đường tiệm cận xiên đi qua hai điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\).

Thay tọa độ hai điểm này vào phương trình đường thẳng \(y = ax + b\):

• Với \(\left( {0;1} \right) \Rightarrow b = 1\).
• Với \(\left( {1;2} \right) \Rightarrow a \cdot 1 + 1 = 2 \Rightarrow a = 1\).

Vậy ta có \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = - 1\).

Tổng \(a + b + c = 1 + 1 + \left( { - 1} \right) = 1\).

Đáp số: \(1\).

Đáp án:

Mảnh vườn hình vuông \(ABCD\) có diện tích \(144{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2} \Rightarrow \) Cạnh hình vuông bằng \(\sqrt {144} = 12{\rm{\;m}}\).

Chọn hệ trục tọa độ sao cho \(A\) trùng với gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\), các cạnh \(AB\) và \(AD\) lần lượt nằm trên hai trục tọa độ \(Ox\) và \(Oy\). Khi đó \(A\left( {0;0} \right)\), \(B\left( {12;0} \right)\), \(D\left( {0;12} \right)\), \(C\left( {12;12} \right)\).

Đường chéo \(BD\) có phương trình là \(x + y = 12\).

Vì \(E \in BD\) nên gọi tọa độ điểm \(E\left( {x;y} \right)\) với \(x + y = 12\) (\(0 < x,y < 12\)).

Bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật có hai đỉnh đối diện là \(A\left( {0;0} \right)\) và \(E\left( {x;y} \right)\), có kích thước chiều dài và rộng chính là \(x\) và \(y\).

Diện tích đáy bể là: \(S = x \cdot y\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: \(S = x \cdot y \le {\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{12}}{2}} \right)^2} = 36{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).

Diện tích đáy lớn nhất đạt bằng \(36{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) khi \(x = y = 6{\rm{\;m}}\) (khi đó đáy bể là hình vuông cạnh \(6{\rm{\;m}}\)).

Tính toán chi phí khi đáy đạt diện tích lớn nhất (\(x = 6,y = 6\)):

• Diện tích nền bể: \({S_1} = 36{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).
• Chi phí lát nền: \(36 \cdot 1.000.000 = 36.000.000{\rm{\;VND}} = 36\) (triệu đồng).
• Chu vi đáy bể: \(P = 2 \cdot \left( {6 + 6} \right) = 24{\rm{\;m}}\).
• Diện tích xung quanh (thành bể): \({S_{th\`a nh}} = P \cdot h = 24 \cdot 1,5 = 36{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).
• Chi phí lát thành bể: \(36 \cdot 500.000 = 18.000.000{\rm{\;VND}} = 18\) (triệu đồng).

Tổng chi phí: \(36 + 18 = 54\) (triệu đồng).

Đáp số: \(54\).