PHẦN IV. Tự luận. Học sinh trình bày tự luận từ câu 1 đến câu 3.

Hình vẽ dưới mô tả một cái ao hình \(ABCDE\), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính \(15\) mét. Biết rằng:

1. Hai bờ \(AE\) và \(BC\) nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm \(O\).

2. Bờ \(AB\) là một phần của parabol có đỉnh \(A\) và có trục đối xứng là đường thẳng \(OA\).

3. Độ dài \(OA = 40{\rm{\;m}}\), \(OB = 20{\rm{\;m}}\).

4. Tâm \(I\) của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng \(AE\) và \(BC\) là \(40{\rm{\;m}}\) và \(30{\rm{\;m}}\).

Người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ \(AB\) của ao đến vườn. Tìm độ dài ngắn nhất của cây cầu đó.

a) ĐÚNG. Do \(O\) là tâm hình vuông nên \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\), theo tính chất trung điểm ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \vec 0\) và \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \vec 0\).

b) SAI. Ta có \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = \left( {\overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OD} } \right) = 4\overrightarrow {SO} + \vec 0 = 4\overrightarrow {SO} \).

Do đó biểu thức phải bằng \(4\overrightarrow {SO} \).

c) ĐÚNG. Cạnh hình vuông bằng \(4 \Rightarrow \) Đường chéo \(AC = 4\sqrt 2 \Rightarrow OA = 2\sqrt 2 \). Vì \(A\) thuộc tia \(Ox\) nên \(A\left( {2\sqrt 2 ;0;0} \right)\).

d) ĐÚNG. Vì \(B\) nằm trên tia \(Oy\) nên \(B\left( {0;2\sqrt 2 ;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 ;0} \right)\). Chiều cao \(SO = 5\), điểm \(S\) thuộc tia \(Oz\) nên \(S\left( {0;0;5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OS} = \left( {0;0;5} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {OS} = \left( {0;0;10} \right)\). Suy ra \(\vec u = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {OS} = \left( { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 ;10} \right)\). Do đó \(a = - 2\sqrt 2 ,b = 2\sqrt 2 ,c = 10 \Rightarrow a + b + c = 10\).

Tổng tần số của mẫu số liệu là \(N = 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100\).

Xác định các giá trị đại diện của từng nhóm lần lượt là: \({x_1} = 19,25\); \({x_2} = 19,75\); \({x_3} = 20,25\); \({x_4} = 20,75\); \({x_5} = 21,25\).

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm:

\(\bar x = \frac{{13 \cdot 19,25 + 45 \cdot 19,75 + 24 \cdot 20,25 + 12 \cdot 20,75 + 6 \cdot 21,25}}{{100}} = 20,015{\rm{\;m}}\).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:

\({s^2} = \frac{1}{{100}}\left[ {13 \cdot {{\left( {19,25} \right)}^2} + 45 \cdot {{\left( {19,75} \right)}^2} + 24 \cdot {{\left( {20,25} \right)}^2} + 12 \cdot {{\left( {20,75} \right)}^2} + 6 \cdot {{\left( {21,25} \right)}^2}} \right] - {\left( {20,015} \right)^2}\)\( \approx 0,28\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm: \(s = \sqrt {{s^2}} \approx 0,53{\rm{\;m}}\).