PHẦN IV. Tự luận. Học sinh trình bày tự luận từ câu 1 đến câu 3.

Có hai xã \(A,B\) cùng ở một bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là \(AA' = 500{\rm{\;m}}\), \(BB' = 600{\rm{\;m}}\) và người ta đo được \(A'B' = 2200{\rm{\;m}}\) (Hình vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí \(M\) của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn \(A'B'\) sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí \(M\) là nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.

Cách 1. Dùng đạo hàm

Đặt \(A'M = x\) (m). Suy ra \(B'M = A'B' - A'M = 2200 - x\) (m) với \(0 < x < 2200\).

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được:

\(AM = \sqrt {A{{A'}^2} + A'{M^2}} = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}} {\rm{\;;\;}}BM = \sqrt {B{{B'}^2} + B'{M^2}} = \sqrt {{{600}^2} + {{\left( {2200 - x} \right)}^2}} \).

Tổng khoảng cách từ hai vị trí A, B đến vị trí M là

\(D = AM + BM = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}} + \sqrt {{{600}^2} + {{\left( {2200 - x} \right)}^2}} \).

Xét hàm số \(D\left( x \right) = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}} + \sqrt {{{600}^2} + {{\left( {2200 - x} \right)}^2}} \) với \(0 < x < 2200\)

\( \Rightarrow D'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{{500}^2} + {x^2}} }} + \frac{{x - 2200}}{{\sqrt {{{600}^2} + {{\left( {2200 - x} \right)}^2}} }}\).

Do đó \(D'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \frac{x}{{\sqrt {{{500}^2} + {x^2}} }} + \frac{{x - 2200}}{{\sqrt {{{600}^2} + {{\left( {2200 - x} \right)}^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1000\).

Bảng biến thiên của hàm số \(D\left( x \right)\) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy \(D\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(1100\sqrt 5 \) tại \(x = 1000\).

Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách cần tìm là \(1100\sqrt 5 \) m.

Cách 2. Sử dụng phương pháp hình học (Phản chiếu đối xứng)

Lấy điểm \(A''\) đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(A'B'\) (bờ sông). Khi đó \(AA'' \bot A'B'\) tại \(A'\) và \(A'A'' = A'A = 500{\rm{\;m}}\).

Với mọi điểm \(M\) thuộc đoạn \(A'B'\), ta luôn có \(AM = A''M\) (do tính chất đối xứng).

Do đó, tổng khoảng cách: \(D = AM + BM = A''M + BM\).

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có \(A''M + BM \ge A''B\).

Dấu "\( = \)" xảy ra khi và chỉ khi ba điểm \(A'',M,B\) thẳng hàng. Tức là \(M\) là giao điểm của đoạn thẳng \(A''B\) với bờ sông \(A'B'\).

Khi đó, giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách chính là độ dài đoạn thẳng \(A''B\).

Dựng hình chữ nhật \(A''A'B'H\).

Ta có: \(A''H = A'B' = 2200{\rm{\;m}}\); \(BH = BB' + B'H = BB' + A'A'' = 600 + 500 = 1100{\rm{\;m}}\).

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(A''HB\):

\(A''B = \sqrt {A''{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{2200}^2} + {{1100}^2}} = \sqrt {4840000 + 1210000} = \sqrt {6050000} = 1100\sqrt 5 {\rm{\;m}}\).