Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC\) và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}\). Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {BC} \)?

Đáp án:

Trả lời: 1,8.

Ta có tam giác \(IA'M\) đồng dạng với tam giác \(INB'\) nên suy ra: \(\frac{{IA'}}{{IN}} = \frac{{A'M}}{{B'N}} = \frac{{\frac{1}{2}A'D'}}{{\frac{1}{3}A'D'}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \overrightarrow {A'I} = \frac{3}{5}\overrightarrow {A'N} \).

Ta có \(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'I} = \overrightarrow {AA'} + \frac{3}{5}\overrightarrow {A'N} = \overrightarrow {AA'} + \frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {B'N} } \right) = \overrightarrow {AA'} + \frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} } \right)\)\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} \).

Suy ra \(a + b + c = \frac{9}{5} = 1,8\).

Chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ. Khi đó, điểm góc \(M\) có tọa độ \(M\left( { - 2,6;m} \right)\).

Tọa độ điểm \(B\) là \(B\left( { - a;0} \right)\) khi đó \(A\left( {0;\sqrt {25 - {a^2}} } \right)\).

Phương trình đường thẳng \(AB\) là \(AB:\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 = 0\).

Do \(CD{\rm{//}}AB\) nên phương trình đường thẳng \(CD\) là \(CD:\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - T = 0\).

Mà khoảng cách giữa \(AB\) và \(CD\) bằng \(1,9{\rm{m}}\) nên

\(d\left( {AB,CD} \right) = \frac{{\left| {T - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt {25 - {a^2}} }}} \right)}^2}} }} = 1,9 \Rightarrow T = 1 + \frac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }}\).

Điều kiện để ô tô đi qua được là \(M,O\) nằm khác phía đối với bờ là đường thẳng \(CD\).

Suy ra: \(\frac{{ - 2,6}}{{ - a}} + \frac{m}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 - \frac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow m \ge \sqrt {25 - {a^2}} + \frac{{9,5 - 2,6\sqrt {25 - {a^2}} }}{a}\) đúng với mọi \(a \in \left( {0;5} \right]\).

Xét hàm số: \(f\left( a \right) = \sqrt {25 - {a^2}} + \frac{{9,5}}{a} - \frac{{2,6\sqrt {25 - {a^2}} }}{a}\) trên nửa khoảng \(\left( {0;5} \right]\) ta có:

\(f'\left( a \right) = - \frac{a}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} + \frac{{9,5}}{{{a^2}}} + \frac{{65}}{{{a^2}\sqrt {25 - {a^2}} }} = \frac{{65 - 9,5\sqrt {25 - {a^2}} - {a^3}}}{{{a^2}.\sqrt {25 - {a^2}} }}\)\( \Rightarrow f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 3 \in \left( {0;5} \right)\).

BBT:

Do đó \(m \ge f\left( a \right),\forall a \in \left( {0;5} \right] \Leftrightarrow m \ge {\rm{ma}}{{\rm{x}}_{\left( {0;5} \right]}}f\left( a \right) \Leftrightarrow m \ge \frac{{37}}{{10}} = 3,7\).

Vậy \(x = 3,7\) là giá trị cần tìm.