Ba chiếc Flycam cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc Flycam thứ nhất cách điểm xuất phát \(100\,{\rm{m}}\) về phía bắc và \(200\,{\rm{m}}\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất \(50\,{\rm{m}}\). Chiếc Flycam thứ hai cách điểm xuất phát \(300\,{\rm{m}}\) về phía nam và \(200\,{\rm{m}}\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(100\,{\rm{m}}\). Chiếc Flycam thứ ba cách điểm xuất phát \(150\,{\rm{m}}\) về phía đông và \(100\,{\rm{m}}\) về phía bắc, đồng thời cách mặt đất \(50\,{\rm{m}}{\rm{.}}\) Vị trí của hai chiếc Flycam thứ nhất và thứ hai tạo với vị trí của chiếc thứ ba một góc bằng \(\alpha \). Hỏi góc \(\alpha \) bằng bao nhiêu độ? (Làm tròn đến hàng phần chục).

Đáp án:

Trả lời: 1,8.

Ta có tam giác \(IA'M\) đồng dạng với tam giác \(INB'\) nên suy ra: \(\frac{{IA'}}{{IN}} = \frac{{A'M}}{{B'N}} = \frac{{\frac{1}{2}A'D'}}{{\frac{1}{3}A'D'}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \overrightarrow {A'I} = \frac{3}{5}\overrightarrow {A'N} \).

Ta có \(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'I} = \overrightarrow {AA'} + \frac{3}{5}\overrightarrow {A'N} = \overrightarrow {AA'} + \frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {B'N} } \right) = \overrightarrow {AA'} + \frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} } \right)\)\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} \).

Suy ra \(a + b + c = \frac{9}{5} = 1,8\).

Chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ. Khi đó, điểm góc \(M\) có tọa độ \(M\left( { - 2,6;m} \right)\).

Tọa độ điểm \(B\) là \(B\left( { - a;0} \right)\) khi đó \(A\left( {0;\sqrt {25 - {a^2}} } \right)\).

Phương trình đường thẳng \(AB\) là \(AB:\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 = 0\).

Do \(CD{\rm{//}}AB\) nên phương trình đường thẳng \(CD\) là \(CD:\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - T = 0\).

Mà khoảng cách giữa \(AB\) và \(CD\) bằng \(1,9{\rm{m}}\) nên

\(d\left( {AB,CD} \right) = \frac{{\left| {T - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt {25 - {a^2}} }}} \right)}^2}} }} = 1,9 \Rightarrow T = 1 + \frac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }}\).

Điều kiện để ô tô đi qua được là \(M,O\) nằm khác phía đối với bờ là đường thẳng \(CD\).

Suy ra: \(\frac{{ - 2,6}}{{ - a}} + \frac{m}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 - \frac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow m \ge \sqrt {25 - {a^2}} + \frac{{9,5 - 2,6\sqrt {25 - {a^2}} }}{a}\) đúng với mọi \(a \in \left( {0;5} \right]\).

Xét hàm số: \(f\left( a \right) = \sqrt {25 - {a^2}} + \frac{{9,5}}{a} - \frac{{2,6\sqrt {25 - {a^2}} }}{a}\) trên nửa khoảng \(\left( {0;5} \right]\) ta có:

\(f'\left( a \right) = - \frac{a}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} + \frac{{9,5}}{{{a^2}}} + \frac{{65}}{{{a^2}\sqrt {25 - {a^2}} }} = \frac{{65 - 9,5\sqrt {25 - {a^2}} - {a^3}}}{{{a^2}.\sqrt {25 - {a^2}} }}\)\( \Rightarrow f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 3 \in \left( {0;5} \right)\).

BBT:

Do đó \(m \ge f\left( a \right),\forall a \in \left( {0;5} \right] \Leftrightarrow m \ge {\rm{ma}}{{\rm{x}}_{\left( {0;5} \right]}}f\left( a \right) \Leftrightarrow m \ge \frac{{37}}{{10}} = 3,7\).

Vậy \(x = 3,7\) là giá trị cần tìm.