Cho hình chóp \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(2\sqrt 3 \) (đvđd). Tính độ dài vectơ \(\vec u = \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SB} .\)

Đáp án:

Gọi chiều rộng của đáy bể là \(x\,\left( {x > 0,{\rm{m}}} \right)\).

Vì chiều dài gấp 2 lần chiều rộng nên chiều dài đáy bể là \(2x\).

Gọi chiều cao của bể là \(h\,\left( {h > 0,{\rm{m}}} \right)\).

Thể tích bể là: \(V = x \cdot 2x \cdot h = 2{x^2}h = 36 \Rightarrow h = \frac{{36}}{{2{x^2}}} = \frac{{18}}{{{x^2}}}\).

Do bể không có nắp nên diện tích cần xây bao gồm diện tích đáy và diện tích 4 mặt bên:

$S=S_{\text{đáy}}+S_{\text{xung quanh}}=\left(x\cdot 2x\right)+2\cdot \left(x\cdot h\right)+2\cdot \left(2x\cdot h\right)=2x^2+6xh$.

Thay \(h = \frac{{18}}{{{x^2}}}\) vào công thức diện tích: \(S\left( x \right) = 2{x^2} + 6x \cdot \left( {\frac{{18}}{{{x^2}}}} \right) = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}\).

Để chi phí thuê nhân công thấp nhất thì diện tích toàn phần này phải nhỏ nhất.

Xét hàm số \(S\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Ta có \(S'\left( x \right) = 4x - \frac{{108}}{{{x^2}}}\).

Cho \(S'(x) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 108 = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 27 \Leftrightarrow x = 3\).

Lập bảng biến thiên nhanh ta thấy \(S\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 3\).

Khi đó, chiều cao tương ứng của bể là: \(h = \frac{{18}}{{{3^2}}} = \frac{{18}}{9} = 2\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Đáp án: 2.

Vì máy bay chuyển động thẳng đều (tốc độ và hướng không đổi) nên vectơ dịch chuyển trong 10 phút đầu bằng vectơ dịch chuyển trong 10 phút tiếp theo.

• Trong 10 phút đầu, máy bay bay từ \(A\) đến \(B\), vectơ dịch chuyển là:

\(\overrightarrow {AB} = \left( {940 - 800;550 - 500;8 - 7} \right) = \left( {140;50;1} \right)\).

• Trong 10 phút tiếp theo, máy bay bay từ \(B\) đến \(D\), vectơ dịch chuyển là:

\(\overrightarrow {BD} = \left( {x - 940;y - 550;z - 8} \right)\).

Vì khoảng thời gian bằng nhau (đều là 10 phút), nên ta có: \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 940 = 140 \Rightarrow x = 1080}\\{y - 550 = 50 \Rightarrow y = 600}\\{z - 8 = 1 \Rightarrow z = 9}\end{array}} \right.\).

Vậy tọa độ điểm \(D\) sau 10 phút tiếp theo là \(D\left( {1080;600;9} \right)\).

Khi đó \(x - y - z = 1080 - 600 - 9 = 471\).

Đáp số: 471.