Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị đo lấy theo km), radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm \(A\left( {800;500;7} \right)\) đến điểm \(B\left( {940;550;8} \right)\) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là \(D\left( {x;y;z} \right)\). Khi đó, \(x - y - z\) bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Gọi chiều rộng của đáy bể là \(x\,\left( {x > 0,{\rm{m}}} \right)\).

Vì chiều dài gấp 2 lần chiều rộng nên chiều dài đáy bể là \(2x\).

Gọi chiều cao của bể là \(h\,\left( {h > 0,{\rm{m}}} \right)\).

Thể tích bể là: \(V = x \cdot 2x \cdot h = 2{x^2}h = 36 \Rightarrow h = \frac{{36}}{{2{x^2}}} = \frac{{18}}{{{x^2}}}\).

Do bể không có nắp nên diện tích cần xây bao gồm diện tích đáy và diện tích 4 mặt bên:

$S=S_{\text{đáy}}+S_{\text{xung quanh}}=\left(x\cdot 2x\right)+2\cdot \left(x\cdot h\right)+2\cdot \left(2x\cdot h\right)=2x^2+6xh$.

Thay \(h = \frac{{18}}{{{x^2}}}\) vào công thức diện tích: \(S\left( x \right) = 2{x^2} + 6x \cdot \left( {\frac{{18}}{{{x^2}}}} \right) = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}\).

Để chi phí thuê nhân công thấp nhất thì diện tích toàn phần này phải nhỏ nhất.

Xét hàm số \(S\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Ta có \(S'\left( x \right) = 4x - \frac{{108}}{{{x^2}}}\).

Cho \(S'(x) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 108 = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 27 \Leftrightarrow x = 3\).

Lập bảng biến thiên nhanh ta thấy \(S\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 3\).

Khi đó, chiều cao tương ứng của bể là: \(h = \frac{{18}}{{{3^2}}} = \frac{{18}}{9} = 2\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Đáp án: 2.

Đáp án:

Tổng doanh thu khi bán \(x\) máy tính bảng: \(R\left( x \right) = x \cdot p\left( x \right) = x\left( {4000 - 10x} \right) = 4000x - 10{x^2}\).

Tổng chi phí để sản xuất \(x\) máy tính bảng:

\(C\left( x \right) = x \cdot c\left( x \right) = x\left( {{x^2} - 70x + 400 + \frac{{1000}}{x}} \right) = {x^3} - 70{x^2} + 400x + 1000\).

Hàm lợi nhuận \(L\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\):

\(L\left( x \right) = \left( {4000x - 10{x^2}} \right) - \left( {{x^3} - 70{x^2} + 400x + 1000} \right) = - {x^3} + 60{x^2} + 3600x - 1000\).

Xét đạo hàm của hàm lợi nhuận: \(L'\left( x \right) = - 3{x^2} + 120x + 3600\).

Cho \(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 120x + 3600 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 40x - 1200 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 60\quad \left( {{\rm{th/m\~a n\;}}1 \le x \le 200} \right)}\\{x = - 20\quad \left( {{\rm{loai}}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\).

Vì hệ số bậc hai của đạo hàm âm nên tại \(x = 60\), hàm số đạt cực đại, đồng thời cũng là giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận trên đoạn xét.

Vậy doanh nghiệp cần bán 60 máy tính bảng.

Đáp án: 60.