Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị đo lấy theo km), radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm \(A\left( {800;500;7} \right)\) đến điểm \(B\left( {940;550;8} \right)\) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là \(D\left( {x;y;z} \right)\). Khi đó, \(x - y - z\) bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Gọi chiều rộng của đáy bể là \(x\,\left( {x > 0,{\rm{m}}} \right)\).

Vì chiều dài gấp 2 lần chiều rộng nên chiều dài đáy bể là \(2x\).

Gọi chiều cao của bể là \(h\,\left( {h > 0,{\rm{m}}} \right)\).

Thể tích bể là: \(V = x \cdot 2x \cdot h = 2{x^2}h = 36 \Rightarrow h = \frac{{36}}{{2{x^2}}} = \frac{{18}}{{{x^2}}}\).

Do bể không có nắp nên diện tích cần xây bao gồm diện tích đáy và diện tích 4 mặt bên:

$S=S_{\text{đáy}}+S_{\text{xung quanh}}=\left(x\cdot 2x\right)+2\cdot \left(x\cdot h\right)+2\cdot \left(2x\cdot h\right)=2x^2+6xh$.

Thay \(h = \frac{{18}}{{{x^2}}}\) vào công thức diện tích: \(S\left( x \right) = 2{x^2} + 6x \cdot \left( {\frac{{18}}{{{x^2}}}} \right) = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}\).

Để chi phí thuê nhân công thấp nhất thì diện tích toàn phần này phải nhỏ nhất.

Xét hàm số \(S\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Ta có \(S'\left( x \right) = 4x - \frac{{108}}{{{x^2}}}\).

Cho \(S'(x) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 108 = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 27 \Leftrightarrow x = 3\).

Lập bảng biến thiên nhanh ta thấy \(S\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 3\).

Khi đó, chiều cao tương ứng của bể là: \(h = \frac{{18}}{{{3^2}}} = \frac{{18}}{9} = 2\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Đáp án: 2.

a) ĐÚNG: Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \).

b) SAI: Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi:

\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left( {{x_D} - 4;{y_D} - 0;{z_D} - 2} \right) = \left( {3;0; - 3} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_D} - 4 = 3 \Rightarrow {x_D} = 7}\\{{y_D} - 0 = 0 \Rightarrow {y_D} = 0}\\{{z_D} - 2 = - 3 \Rightarrow {z_D} = - 1}\end{array}} \right.\).

Tung độ của \(D\) phải bằng \(0\), mệnh đề ghi bằng 4 là sai.

c) ĐÚNG: Ba điểm \(A,B,K\) thẳng hàng khi hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AK} \) cùng phương.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;1} \right)\) và \(\overrightarrow {AK} = \left( { - 2 - 4;y - 0;z - 2} \right) = \left( { - 6;y;z - 2} \right)\).

Để hai vectơ cùng phương:

\(\frac{{ - 6}}{{ - 2}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1} \Rightarrow 3 = \frac{y}{2} \Rightarrow y = 6\)

\(3 = \frac{{z - 2}}{1} \Rightarrow z - 2 = 3 \Rightarrow z = 5\)

Khi đó, \(y - z = 6 - 5 = 1\).

d) ĐÚNG: Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;1} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;2; - 2} \right)\). Do đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot \left( { - 2} \right) = 0\).

Suy ra \(AB \bot AC\), tức là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), vậy \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Do đó \(I\left( {\frac{7}{2};2;\frac{3}{2}} \right)\), tức là \(a = \frac{7}{2},b = 2,c = \frac{3}{2}\).

Tính tổng \(a + b + c = \frac{7}{2} + 2 + \frac{3}{2} = 7\).