Cho hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) thỏa mãn \(\left| {\vec u} \right| = 5\), \(\left| {\vec v} \right| = 8\) và \(\left( {\vec u,\vec v} \right) = 60^\circ \). Tính tích vô hướng \(\vec u \cdot \vec v\).

Cho hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết \(\left( C \right)\) nhận điểm \(A\left( {2; - 2} \right)\) làm điểm cực trị. Gọi \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tâm đối xứng của \(\left( C \right)\). Tính \(2{x_0} - {y_0}\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1; - 2;3} \right)\). Tìm điểm \(M' \in Oy\) sao cho độ dài đoạn thẳng \(MM'\) ngắn nhất.

A. \(M'\left( {1;0;3} \right)\). B. \(M'\left( {1; - 2;0} \right)\). C. \(M'\left( {0; - 2;0} \right)\). D. \[M'\left( {0;2;0} \right)\].

Một chiếc container được buộc vào móc \(S\) của một chiếc cần cẩu bởi bốn sợi dây cáp không giãn \(SA,SB,SC,SD\) có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc bằng \(60^\circ \) (tham khảo hình vẽ). Chiếc cần cẩu kéo chiếc container lên theo phương thẳng đứng. Tính cường độ lực căng (đơn vị kN) của mỗi sợi dây cáp (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần chục), biết rằng các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} \) trên mỗi sợi dây cáp đều có cường độ bằng nhau và trọng lượng của chiếc container bằng \(72{\rm{\;kN}}\).

Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{x + c}}\) có đồ thị như hình bên dưới, với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị của biểu thức \(T = a + b + 2c\).

Cho hàm số đa thức \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam A cách mặt đất \(5{\rm{m}}\), cách điểm xuất phát \(3{\rm{m}}\) về phía Nam và \(2{\rm{m}}\) về phía Đông. Chiếc flycam B cách mặt đất \(5{\rm{m}}\), cách điểm xuất phát \(6{\rm{m}}\) về phía Bắc và \(6{\rm{m}}\) về phía Tây. Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất có trục \(Ox\) hướng về phía Nam, trục \(Oy\) hướng về phía Đông và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo mét (xem hình vẽ).

Trên mặt đất người ta xác định một vị trí \(M\left( {a;b;c} \right)\) sao cho tổng khoảng cách từ \(M\) đến hai chiếc flycam ngắn nhất. Tính \(b - a + c\).

Cho hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 6}}{{x - 2}}\).