Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(5\) và tam giác \(SAB\) đều. Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(BM = 2\).

a) SAI. Vì đường thẳng \(SA\) cắt mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\) tại \(A\) mà điểm \(A\) không nằm trên đường thẳng \(MD\). Do đó, hai đường thẳng \(SA\) và \(MD\) chéo nhau.

b) ĐÚNG. Do đáy \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC{\rm{//}}AD\). Mà \(AD \subset \left( {SAD} \right)\) và \(BC \not\subset \left( {SAD} \right)\), suy ra \(BC{\rm{//}}\left( {SAD} \right)\).

c) ĐÚNG. Điểm \(M \in BC \subset \left( {ABCD} \right)\). Đường thẳng \(d\) qua \(M\) và song song với \(AB\) (trong đó \(AB \subset \left( {ABCD} \right)\)) phải nằm trọn vẹn trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\).

d) SAI. Xác định hình dáng và kích thước thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\):

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\), cắt \(AD\) tại \(N\). Do đó \(MN{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\). Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(5\) nên \(MN = 5\). Ta có \(AN = BM = 2 \Rightarrow ND = 5 - 2 = 3\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(SB\), cắt \(SC\) tại \(P\). Theo định lý Thales: \(\frac{{MP}}{{SB}} = \frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{5 - 2}}{5} = \frac{3}{5} \Rightarrow MP = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(SA\), cắt \(SD\) tại \(Q\). Theo định lý Thales: \(\frac{{NQ}}{{SA}} = \frac{{DN}}{{DA}} = \frac{3}{5} \Rightarrow NQ = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3\).

Do mặt phẳng \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( {SAB} \right)\) nên giao tuyến \(PQ\) với mặt bên \(\left( {SCD} \right)\) phải song song với \(AB\) và \(CD\). Theo định lý Thales: \(\frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{5} \Rightarrow PQ = \frac{2}{5} \cdot 5 = 2\).

Thiết diện thu được là một hình thang cân \(MNQP\) có đáy lớn \(MN = 5\), đáy nhỏ \(PQ = 2\), và hai cạnh bên bằng nhau \(MP = NQ = 3\).

Độ dài hình chiếu của cạnh bên lên đáy lớn là: \(\frac{{5 - 2}}{2} = 1,5\).

Chiều cao của hình thang cân thiết diện: \({h_{ht}} = \sqrt {{3^2} - 1,{5^2}} = \sqrt {9 - 2,25} = \sqrt {6,75} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

Diện tích đa giác thiết diện là: \({S_{MNQP}} = \frac{{\left( {MN + PQ} \right) \cdot {h_{ht}}}}{2} = \frac{{\left( {5 + 2} \right) \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{2}}}{2} = \frac{{21\sqrt 3 }}{4}\).

Giá trị bài toán đưa ra là \(\frac{{7\sqrt 3 }}{4}\) nên khẳng định này sai.