Cho tứ diện \(ABCD\) có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\). Mặt phẳng nào sau đây song song với đường thẳng \(MN\)?

a) Ta có điểm \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\)). Vậy \(O\) là điểm chung thứ hai.

Giao tuyến cần tìm là: \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).

b) Ta có điểm \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song: \(AB \subset \left( {SAB} \right)\) và \(CD \subset \left( {SCD} \right)\) với \(AB{\rm{//}}CD\) (do tính chất của hình bình hành \(ABCD\)).

Theo hệ quả về giao tuyến của ba mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng \(d\) đi qua điểm chung \(S\) và song song với cả \(AB\) và \(CD\). Ta có \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = d\).

c) Chọn mặt phẳng phụ chứa \(BM\) là mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

Tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ \(\left( {SBD} \right)\) và mặt phẳng đề bài \(\left( {SAC} \right)\).

Theo kết quả câu a, ta có: \(\left( {SBD} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SO\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(BM\) và giao tuyến \(SO\): \(I = BM \cap SO\).

Vì \(I \in SO\) mà \(SO \subset \left( {SAC} \right)\) nên \(I \in \left( {SAC} \right)\). Do đó, \(I\) chính là giao điểm cần tìm: \(I = BM \cap \left( {SAC} \right)\).

d) Xét tam giác \(BCD\), ta có:

\(O\) là trung điểm của đường chéo \(BD\) (tính chất hình bình hành).

\(N\) là trung điểm của cạnh \(CD\) (giả thiết).

\( \Rightarrow ON\) là đường trung bình của .

Mà \(BC \subset \left( {SBC} \right)\) nên suy ra \(ON{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\) \(\left( 1 \right)\).

Xét tam giác \(SDB\), ta có:

\(O\) là trung điểm của \(BD\).

\(M\) là trung điểm của cạnh \(SD\) (giả thiết).

\( \Rightarrow OM\) là đường trung bình của .

Mà \(SB \subset \left( {SBC} \right)\) nên suy ra \(OM{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\) \(\left( 2 \right)\).

Mặt khác, hai đường thẳng \(ON\) và \(OM\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) và cắt nhau tại điểm \(O\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), theo định lý về hai mặt phẳng song song, ta kết luận: \(\left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).