Cho dãy số hữu hạn gồm các số hạng: \( - 1;2;5;8;11;14;17\). Khi đó:

a) Ta có \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng: \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\).

Vì \(O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\).

Vì \(O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)\).

Suy ra \(O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng \(SO\), ta có \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).

b) Xét tam giác \(SAB\):

\(Q\) là trung điểm \(SA\), \(M\) là trung điểm \(AB\). Do đó \(QM\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\).

Suy ra \(QM{\rm{//}}SB\).

Mặt khác, \(QM \subset \left( {MNQ} \right)\) và \(SB \not\subset \left( {MNQ} \right)\).

Từ đó suy ra \(SB{\rm{//}}\left( {MNQ} \right)\).

c) Chọn mặt phẳng phụ chứa \(SD\) là \(\left( {SAD} \right)\).

Tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {MNQ} \right)\):

Ta có \(Q\) là điểm chung thứ nhất vì \(Q \in SA \subset \left( {SAD} \right)\) và \(Q \in \left( {MNQ} \right)\).

Xét tứ giác \(AMND\) trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\):

Ta có \(M\) là trung điểm \(AB\) nên \(AM = \frac{1}{2}AB\) và \(AM{\rm{//}}CD\).

\(N\) là trung điểm \(CD\) nên \(DN = \frac{1}{2}CD\).

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD\) và \(AB{\rm{//}}CD\), do đó \(AM = DN\) và \(AM{\rm{//}}DN\).

Suy ra tứ giác \(AMND\) là hình bình hành, dẫn đến \(AD{\rm{//}}MN\).

Hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {MNQ} \right)\) có \(AD \subset \left( {SAD} \right)\), \(MN \subset \left( {MNQ} \right)\) và \(AD{\rm{//}}MN\).

Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng song song hoặc cắt nhau, giao tuyến của \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {MNQ} \right)\) là đường thẳng đi qua \(Q\) và song song với \(AD\) (và \(MN\)). Gọi đường thẳng này là \(Qx\). Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(Q\) song song với \(AD\), cắt \(SD\) tại \(P\).

Khi đó, \(P\) chính là giao điểm của \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {MNQ} \right)\).

Nhận xét thêm: Vì \(Q\) là trung điểm của \(SA\) và \(QP{\rm{//}}AD\) trong tam giác \(SAD\), nên \(QP\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\). Do đó, giao điểm \(P\) chính là trung điểm của cạnh \(SD\).

Ta có \(2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) - \sqrt 2 = 0\)\( \Leftrightarrow 2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vì \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\), phương trình trở thành: \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{2x - \frac{\pi }{6} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\\{2x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi }\\{x = \frac{{11\pi }}{{24}} + k\pi }\end{array}\quad } \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi ;\frac{{11\pi }}{{24}} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).