Một học sinh bắt đầu thực hiện kế hoạch tiết kiệm tiền để mua một món đồ công nghệ. Trong tuần đầu tiên, học sinh tiết kiệm được 20 nghìn đồng. Kể từ tuần thứ hai trở đi, mỗi tuần tiết kiệm được số tiền nhiều hơn 15 nghìn đồng so với tuần liền trước đó. Hỏi sau 16 tuần, học sinh đó sẽ tích lũy được tổng cộng bao nhiêu tiền (tính bằng đơn vị nghìn đồng)?

Đáp án:

Sử dụng công thức tổng thành tích cho hai hàm số côsin có cùng biên độ \({A_1} = {A_2} = 2\):

\(x\left( t \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right) + 2\cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right) = 2 \cdot 2\cos \left[ {\frac{{\left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right) - \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}} \right] \cdot \cos \left[ {\frac{{\left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right) + \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}} \right]\)

\( = 4\cos \left( {\frac{{\frac{\pi }{2}}}{2}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{{12}}} \right) = 4\cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{{12}}} \right)\)\( = 4 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{{12}}} \right) = 2\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{{12}}} \right)\).

Biên độ của dao động tổng hợp là: \(A = 2\sqrt 2 \approx 2,83{\rm{\;cm}}\).

Đáp số: 2,83.

Ta có \(2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) - \sqrt 2 = 0\)\( \Leftrightarrow 2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vì \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\), phương trình trở thành: \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{2x - \frac{\pi }{6} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\\{2x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi }\\{x = \frac{{11\pi }}{{24}} + k\pi }\end{array}\quad } \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi ;\frac{{11\pi }}{{24}} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).