Một học sinh bắt đầu thực hiện kế hoạch tiết kiệm tiền để mua một món đồ công nghệ. Trong tuần đầu tiên, học sinh tiết kiệm được 20 nghìn đồng. Kể từ tuần thứ hai trở đi, mỗi tuần tiết kiệm được số tiền nhiều hơn 15 nghìn đồng so với tuần liền trước đó. Hỏi sau 16 tuần, học sinh đó sẽ tích lũy được tổng cộng bao nhiêu tiền (tính bằng đơn vị nghìn đồng)?

a) Ta có \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng: \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\).

Vì \(O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\).

Vì \(O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)\).

Suy ra \(O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng \(SO\), ta có \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).

b) Xét tam giác \(SAB\):

\(Q\) là trung điểm \(SA\), \(M\) là trung điểm \(AB\). Do đó \(QM\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\).

Suy ra \(QM{\rm{//}}SB\).

Mặt khác, \(QM \subset \left( {MNQ} \right)\) và \(SB \not\subset \left( {MNQ} \right)\).

Từ đó suy ra \(SB{\rm{//}}\left( {MNQ} \right)\).

c) Chọn mặt phẳng phụ chứa \(SD\) là \(\left( {SAD} \right)\).

Tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {MNQ} \right)\):

Ta có \(Q\) là điểm chung thứ nhất vì \(Q \in SA \subset \left( {SAD} \right)\) và \(Q \in \left( {MNQ} \right)\).

Xét tứ giác \(AMND\) trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\):

Ta có \(M\) là trung điểm \(AB\) nên \(AM = \frac{1}{2}AB\) và \(AM{\rm{//}}CD\).

\(N\) là trung điểm \(CD\) nên \(DN = \frac{1}{2}CD\).

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD\) và \(AB{\rm{//}}CD\), do đó \(AM = DN\) và \(AM{\rm{//}}DN\).

Suy ra tứ giác \(AMND\) là hình bình hành, dẫn đến \(AD{\rm{//}}MN\).

Hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {MNQ} \right)\) có \(AD \subset \left( {SAD} \right)\), \(MN \subset \left( {MNQ} \right)\) và \(AD{\rm{//}}MN\).

Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng song song hoặc cắt nhau, giao tuyến của \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {MNQ} \right)\) là đường thẳng đi qua \(Q\) và song song với \(AD\) (và \(MN\)). Gọi đường thẳng này là \(Qx\). Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(Q\) song song với \(AD\), cắt \(SD\) tại \(P\).

Khi đó, \(P\) chính là giao điểm của \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {MNQ} \right)\).

Nhận xét thêm: Vì \(Q\) là trung điểm của \(SA\) và \(QP{\rm{//}}AD\) trong tam giác \(SAD\), nên \(QP\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\). Do đó, giao điểm \(P\) chính là trung điểm của cạnh \(SD\).

Ta có \(2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) - \sqrt 2 = 0\)\( \Leftrightarrow 2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vì \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\), phương trình trở thành: \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{2x - \frac{\pi }{6} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\\{2x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi }\\{x = \frac{{11\pi }}{{24}} + k\pi }\end{array}\quad } \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi ;\frac{{11\pi }}{{24}} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).