Trong dịp Tết Nguyên Đán, nhu cầu sử dụng Internet (dữ liệu di động) của người dân tại một thành phố lớn thường xuyên thay đổi trong ngày. Lượng dữ liệu sử dụng \(D\) (MegaBytes/phút) được tính tại thời điểm \(t\) (giờ) trong một ngày (tính từ 0 giờ) bởi công thức:

\(D\left( t \right) = 4\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 10} \right) + \frac{\pi }{6}} \right) + 20\) (với \(0 \le t < 24\)).

Lượng dữ liệu sử dụng đạt mức cao nhất vào thời điểm nào trong ngày?

a) Ta thấy điểm \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), ta có \(AD{\rm{//}}BC\) (do \(ABCD\) là hình bình hành).

Mà \(AD \subset \left( {SAD} \right)\) và \(BC \subset \left( {SBC} \right)\).

Theo tính chất đường thẳng song song, giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(AD\) và \(BC\). Vậy \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = d\).

b) Trong tam giác \(SCD\), ta có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SC,SD\), do đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\). Suy ra \(MN{\rm{//}}CD\). Mà \(CD{\rm{//}}AB\) nên \(MN{\rm{//}}AB\). Do đó, \(MN{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).

Trong tam giác \(SAC\), có \(O\) là trung điểm của \(AC\) (tính chất hình bình hành tâm \(O\)) và \(M\) là trung điểm của \(SC\). Do đó \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\). Suy ra \(OM{\rm{//}}SA\). Do đó, \(OM{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).

Ta có \(MN,OM \subset \left( {OMN} \right)\) và cắt nhau tại \(M\).

Từ đó suy ra: \(\left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).

c) Xét mặt phẳng phụ \(\left( {SAC} \right)\) chứa đường thẳng \(AM\).

Tìm giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\): Ta có \(S\) là điểm chung và \(O = AC \cap BD\) là điểm chung thứ hai. Do đó, \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(SO\).

Vì \(I \in SO\) và \(SO \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(I \in \left( {SBD} \right)\).

Vậy \(I = AM \cap \left( {SBD} \right)\) chính là giao điểm cần tìm (đây cũng chính là trọng tâm của tam giác \(SAC\)).

a) ĐÚNG. Khi \(x = 4\), ta dùng công thức \(f\left( x \right) = 2x - 4\). Do đó, \(f\left( 4 \right) = 2 \cdot 4 - 4 = 4\).

b) SAI. Tính giới hạn bên phải tại \(x = 4\):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{4 - \sqrt {3x + 4} }}{{4 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{16 - \left( {3x + 4} \right)}}{{\left( {4 - x} \right)\left( {4 + \sqrt {3x + 4} } \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{12 - 3x}}{{\left( {4 - x} \right)\left( {4 + \sqrt {3x + 4} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{3\left( {4 - x} \right)}}{{\left( {4 - x} \right)\left( {4 + \sqrt {3x + 4} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{3}{{4 + \sqrt {3x + 4} }} = \frac{3}{{4 + 4}} = \frac{3}{8}\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \frac{3}{8} \ne 4\).

c) SAI. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \frac{3}{8}\) còn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) = 4\). Do giới hạn hai phía không bằng nhau nên không tồn tại giới hạn tại \(x = 4\), suy ra hàm số không liên tục tại \(x = 4\).

d) ĐÚNG. Khi \(x \to - \infty \), ta có \(f\left( x \right) = 2x - 4\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{{\left( {2x - 4} \right)}^2} - 2\left( {2x - 4} \right)}}{{{x^2} - 5x + 12}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4{x^2} - 16x + 16 - 4x + 8}}{{{x^2} - 5x + 12}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4{x^2} - 20x + 24}}{{{x^2} - 5x + 12}} = 4\).