Một khay đựng nước có nhiệt độ của nước là \(28^\circ {\rm{C}}\) được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Biết rằng, cứ sau 30 phút thì nhiệt độ của nước sẽ giảm đi \(25\% \) so với nhiệt độ của thời gian liền trước đó. Hỏi sau 3 giờ, kể từ lúc đặt khay nước vào tủ lạnh thì nhiệt độ của nước trong khay là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn về hàng phần trăm).

a) Ta thấy điểm \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), ta có \(AD{\rm{//}}BC\) (do \(ABCD\) là hình bình hành).

Mà \(AD \subset \left( {SAD} \right)\) và \(BC \subset \left( {SBC} \right)\).

Theo tính chất đường thẳng song song, giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(AD\) và \(BC\). Vậy \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = d\).

b) Trong tam giác \(SCD\), ta có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SC,SD\), do đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\). Suy ra \(MN{\rm{//}}CD\). Mà \(CD{\rm{//}}AB\) nên \(MN{\rm{//}}AB\). Do đó, \(MN{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).

Trong tam giác \(SAC\), có \(O\) là trung điểm của \(AC\) (tính chất hình bình hành tâm \(O\)) và \(M\) là trung điểm của \(SC\). Do đó \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\). Suy ra \(OM{\rm{//}}SA\). Do đó, \(OM{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).

Ta có \(MN,OM \subset \left( {OMN} \right)\) và cắt nhau tại \(M\).

Từ đó suy ra: \(\left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).

c) Xét mặt phẳng phụ \(\left( {SAC} \right)\) chứa đường thẳng \(AM\).

Tìm giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\): Ta có \(S\) là điểm chung và \(O = AC \cap BD\) là điểm chung thứ hai. Do đó, \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(SO\).

Vì \(I \in SO\) và \(SO \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(I \in \left( {SBD} \right)\).

Vậy \(I = AM \cap \left( {SBD} \right)\) chính là giao điểm cần tìm (đây cũng chính là trọng tâm của tam giác \(SAC\)).

a) ĐÚNG. Khi \(x = 4\), ta dùng công thức \(f\left( x \right) = 2x - 4\). Do đó, \(f\left( 4 \right) = 2 \cdot 4 - 4 = 4\).

b) SAI. Tính giới hạn bên phải tại \(x = 4\):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{4 - \sqrt {3x + 4} }}{{4 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{16 - \left( {3x + 4} \right)}}{{\left( {4 - x} \right)\left( {4 + \sqrt {3x + 4} } \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{12 - 3x}}{{\left( {4 - x} \right)\left( {4 + \sqrt {3x + 4} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{3\left( {4 - x} \right)}}{{\left( {4 - x} \right)\left( {4 + \sqrt {3x + 4} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{3}{{4 + \sqrt {3x + 4} }} = \frac{3}{{4 + 4}} = \frac{3}{8}\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \frac{3}{8} \ne 4\).

c) SAI. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \frac{3}{8}\) còn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) = 4\). Do giới hạn hai phía không bằng nhau nên không tồn tại giới hạn tại \(x = 4\), suy ra hàm số không liên tục tại \(x = 4\).

d) ĐÚNG. Khi \(x \to - \infty \), ta có \(f\left( x \right) = 2x - 4\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{{\left( {2x - 4} \right)}^2} - 2\left( {2x - 4} \right)}}{{{x^2} - 5x + 12}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4{x^2} - 16x + 16 - 4x + 8}}{{{x^2} - 5x + 12}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4{x^2} - 20x + 24}}{{{x^2} - 5x + 12}} = 4\).