PHẦN IV. Tự luận. Học sinh trình bày tự luận từ câu 1 đến câu 3.

(0,75 điểm). Giả sử anh Tuấn kí hợp đồng lao động trong 2 năm với điều khoản về tiền lương như sau: Tháng thứ nhất, tiền lương của anh Tuấn là 8 triệu đồng. Kể từ tháng thứ hai trở đi, mỗi tháng tiền lương của anh Tuấn được tăng 100 nghìn đồng so với tháng liền trước. Tính tổng số tiền lương (triệu đồng) mà anh Tuấn nhận được trong 2 năm đi làm.

a) ĐÚNG: Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {8 + \frac{3}{{n + 1}}} \right) - \left( {8 + \frac{3}{n}} \right) = \frac{3}{{n + 1}} - \frac{3}{n} = - \frac{3}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0\) với mọi \(n \ge 1\). Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

b) SAI: Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {8 + \frac{3}{n}} \right) = 8 + 0 = 8 \ne 11\).

c) ĐÚNG: Cấp số cộng có \({u_8} = {u_1} + 7d \Leftrightarrow 7 = 21 + 7d \Leftrightarrow d = - 2\).

Khi đó \({u_{16}} = {u_1} + 15d = 21 + 15 \cdot \left( { - 2} \right) = - 9\).

d) SAI: Nếu \({u_1} < 0\) và \(q > 1\), chẳng hạn \({u_1} = - 2,q = 2\), dãy số thu được là \( - 2, - 4, - 8, - 16, \ldots \) là một dãy số giảm. Do đó mệnh đề phát biểu cho mọi \({u_1} \ne 0\) là sai.

a) Trong \({\rm{\Delta }}ABC\), có \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(E\) là trung điểm của \(BC\).

\( \Rightarrow OE\) là đường trung bình của \({\rm{\Delta }}ABC \Rightarrow OE{\rm{//}}AB\).

Mà \(AB \subset \left( {SAB} \right)\) và \(OE \not\subset \left( {SAB} \right)\).

Do đó \(OE{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).

b) Trong \({\rm{\Delta }}SAC\), \(O\) là trung điểm \(AC\), \(F\) là trung điểm \(SA \Rightarrow OF\) là đường trung bình của \({\rm{\Delta }}SAC \Rightarrow OF{\rm{//}}SC\). Mà \(SC \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow OF{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).

Trong \({\rm{\Delta }}BCD\), \(O\) là trung điểm \(BD\), \(E\) là trung điểm \(BC\)\( \Rightarrow OE\) là đường trung bình của \({\rm{\Delta }}BCD \Rightarrow OE{\rm{//}}CD\). Mà \(CD \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow OE{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {OEF} \right)\), hai đường thẳng \(OF\) và \(OE\) cắt nhau tại \(O\) và cùng song song với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). Suy ra \(\left( {OEF} \right){\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).

c) Xác định vị trí điểm \(K\) trên cạnh \(CD\):

Đặt cạnh hình vuông \(ABCD\) là \(a\).

Vì \(E\) là trung điểm \(BC\) nên \(BE = \frac{a}{2}\).

Xét \({\rm{\Delta }}ABE\) vuông tại \(B\), có \(\tan \widehat {BAE} = \frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{a} = \frac{1}{2}\).

Theo giả thiết \(\widehat {CAK} = \widehat {BAE} \Rightarrow \tan \widehat {CAK} = \frac{1}{2}\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\widehat {BAC} = 45^\circ \).

Do đó \(\widehat {BAK} = \widehat {BAC} + \widehat {CAK} = 45^\circ + \widehat {BAE}\).

Áp dụng công thức cộng lượng giác: \(\tan \widehat {BAK} = \tan \left( {{{45}^ \circ } + \widehat {BAE}} \right) = \frac{{\tan {{45}^ \circ } + \tan \widehat {BAE}}}{{1 - \tan {{45}^ \circ } \cdot \tan \widehat {BAE}}} = \frac{{1 + \frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 3\).

Trong \({\rm{\Delta }}ADK\) vuông tại \(D\), ta có \(\widehat {DAK} = {90^ \circ } - \widehat {BAK}\).

Suy ra \(\cot \widehat {DAK} = \tan \widehat {BAK} = 3 \Rightarrow \tan \widehat {DAK} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow DK = AD \cdot \tan \widehat {DAK} = a \cdot \frac{1}{3} = \frac{a}{3}\).

Suy ra \(CK = CD - DK = a - \frac{a}{3} = \frac{{2a}}{3}\).

Do đó \(\frac{{CK}}{{CD}} = \frac{{\frac{{2a}}{3}}}{a} = \frac{2}{3}\).

Xác định tỉ số \(\frac{{SH}}{{SA}}\):

Qua \(K\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB\) tại \(I\).

Vì \(IK{\rm{//}}BC \Rightarrow IK{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).

Mặt phẳng chứa \(KH\) và \(IK\) là \(\left( {HKI} \right)\).

Vì \(KH{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\) và \(IK{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\) nên mặt phẳng \(\left( {HKI} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) cắt hai mặt phẳng song song \(\left( {HKI} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) theo hai giao tuyến song song là \(HI\) và \(SB \Rightarrow HI{\rm{//}}SB\).

Áp dụng định lý Thalès trong \({\rm{\Delta }}SAB\) có \(HI{\rm{//}}SB\) ta được \(\frac{{SH}}{{SA}} = \frac{{BI}}{{BA}}\).

Vì \(IK{\rm{//}}BC\) và \(ABCD\) là hình vuông nên \(IBCK\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow BI = CK = \frac{2}{3}a\).

Do đó: \(\frac{{SH}}{{SA}} = \frac{{\frac{2}{3}a}}{a} = \frac{2}{3}\).