Trong hình dưới, khi vật \(A\) gắn ở đầu lò xo được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm \(O\) và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật \(A\) dao động quanh \(O\). Tọa độ \(s\) (cm) của vật \(A\) trên trục \(Ox\) vào thời điểm \(t\) (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức \(s = 10\sin \left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right)\). Hỏi trong \(8\) giây đầu tiên (\(0 \le t \le 8\)), có bao nhiêu thời điểm vật \(A\) ở xa vị trí cân bằng nhất?

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\) không song song nên cắt nhau tại một điểm \(K\).

Ta có: \(K \in AD\) và \(K \in BC \subset \left( {MBC} \right) \Rightarrow K \in \left( {MBC} \right)\).

Do đó, \(K\) chính là giao điểm của \(AD\) và mặt phẳng \(\left( {MBC} \right)\), tức là giao điểm của \(AD\) với \(BC\).

Chọn A.

Xác định giao điểm \(E\):

Trong , \(M,N\) là trung điểm của \(SB,SD \Rightarrow MN{\rm{//}}BD\).

Vì \(MN{\rm{//}}BD\) với \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\), nên \(\left( {MNP} \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) theo giao tuyến \(d\) đi qua \(P\) và \(d{\rm{//}}BD\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), đường thẳng qua \(P\) song song với \(BD\) cắt \(AC\) tại \(K\).

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(I = MN \cap SO \Rightarrow I\) là trung điểm của \(SO\).

Đường thẳng \(IK\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) cắt \(SA\) tại điểm \(E\).

Ta có \(I \in MN \subset \left( {MNP} \right)\) và \(K \in d \subset \left( {MNP} \right)\), suy ra \(IK \subset \left( {MNP} \right)\). Vậy \(E\) là giao điểm của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) với cạnh \(SA\).

Tính tỉ số \(\frac{{SE}}{{SA}}\):

Trong , \(O\) là trung điểm \(AC\), \(P\) là trung điểm \(BC\).

Đường thẳng \(PK{\rm{//}}BO\) cắt \(AC\) tại \(K \Rightarrow K\) là trung điểm của \(CO\).

Do đó: \(CK = \frac{1}{2}CO = \frac{1}{4}CA \Rightarrow AK = AC - CK = \frac{3}{4}AC\).

Suy ra tỉ số: \(\frac{{AK}}{{KO}} = \frac{{\frac{3}{4}AC}}{{\frac{1}{4}AC}} = 3\).

Xét tam giác \(SAO\) và đường thẳng \(E - I - K\) cắt \(SA,SO,AO\) lần lượt tại \(E,I,K\). Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(SAO\) ta được \(\frac{{SE}}{{EA}} \cdot \frac{{AK}}{{KO}} \cdot \frac{{OI}}{{IS}} = 1\).

Vì \(I\) là trung điểm \(SO \Rightarrow \frac{{OI}}{{IS}} = 1\). Thay các tỉ số vào: \(\frac{{SE}}{{EA}} \cdot 3 \cdot 1 = 1 \Rightarrow \frac{{SE}}{{EA}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra \(m = 1,n = 3\).

Giá trị \(2m + n = 2 \cdot 1 + 3 = 5\).

Đáp số: \(5\).