Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm \(M\) là trung điểm của \(SD\). Giao điểm của đường thẳng \(AD\) và mặt phẳng \(\left( {MBC} \right)\) là giao điểm của đường thẳng \(AD\) với đường thẳng nào sau đây?

Vật \(A\) ở xa vị trí cân bằng nhất khi \(\left| s \right|\) đạt giá trị lớn nhất:

\(\left| s \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {\sin \left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right)} \right| = 1\)\( \Leftrightarrow 10t + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow 10t = k\pi \Leftrightarrow t = \frac{{k\pi }}{{10}}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì \(0 \le t \le 8\), nên \(0 \le \frac{{k\pi }}{{10}} \le 8 \Leftrightarrow 0 \le k \le \frac{{80}}{\pi } \approx 25,46\).

Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;1;2; \ldots ;25} \right\}\).

Số giá trị nguyên của \(k\) là \(25 - 0 + 1 = 26\).

Đáp số: \(26\).

Xác định giao điểm \(E\):

Trong , \(M,N\) là trung điểm của \(SB,SD \Rightarrow MN{\rm{//}}BD\).

Vì \(MN{\rm{//}}BD\) với \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\), nên \(\left( {MNP} \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) theo giao tuyến \(d\) đi qua \(P\) và \(d{\rm{//}}BD\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), đường thẳng qua \(P\) song song với \(BD\) cắt \(AC\) tại \(K\).

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(I = MN \cap SO \Rightarrow I\) là trung điểm của \(SO\).

Đường thẳng \(IK\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) cắt \(SA\) tại điểm \(E\).

Ta có \(I \in MN \subset \left( {MNP} \right)\) và \(K \in d \subset \left( {MNP} \right)\), suy ra \(IK \subset \left( {MNP} \right)\). Vậy \(E\) là giao điểm của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) với cạnh \(SA\).

Tính tỉ số \(\frac{{SE}}{{SA}}\):

Trong , \(O\) là trung điểm \(AC\), \(P\) là trung điểm \(BC\).

Đường thẳng \(PK{\rm{//}}BO\) cắt \(AC\) tại \(K \Rightarrow K\) là trung điểm của \(CO\).

Do đó: \(CK = \frac{1}{2}CO = \frac{1}{4}CA \Rightarrow AK = AC - CK = \frac{3}{4}AC\).

Suy ra tỉ số: \(\frac{{AK}}{{KO}} = \frac{{\frac{3}{4}AC}}{{\frac{1}{4}AC}} = 3\).

Xét tam giác \(SAO\) và đường thẳng \(E - I - K\) cắt \(SA,SO,AO\) lần lượt tại \(E,I,K\). Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(SAO\) ta được \(\frac{{SE}}{{EA}} \cdot \frac{{AK}}{{KO}} \cdot \frac{{OI}}{{IS}} = 1\).

Vì \(I\) là trung điểm \(SO \Rightarrow \frac{{OI}}{{IS}} = 1\). Thay các tỉ số vào: \(\frac{{SE}}{{EA}} \cdot 3 \cdot 1 = 1 \Rightarrow \frac{{SE}}{{EA}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra \(m = 1,n = 3\).

Giá trị \(2m + n = 2 \cdot 1 + 3 = 5\).

Đáp số: \(5\).