Xét dãy số \({u_n} = \frac{{{n^k} + 2n}}{{{n^2} + 1}}\) với k là số nguyên dương. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Giới hạn của dãy số lớp 11 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Khi k = 1, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \frac{{3n}}{{{n^2} + 1}} = 0\).
b) Đúng. Khi k = 2, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \frac{{{n^2} + 2n}}{{{n^2} + 1}} = \frac{{1 + \frac{2}{n}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = 1\).
c) Sai. Khi k = 3, \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^3} + 2n}}{{{n^2} + 1}}\] = \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^3} \cdot \left( {1 + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2} \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}\] = +∞.
d) Sai.
Trường hợp 1: k = 1 (Bậc tử nhỏ hơn Bậc mẫu) Như câu a đã tính: lim un = 0 ≠ 2.
Trường hợp 2: k = 2 (Bậc tử bằng Bậc mẫu) Như câu b đã tính: lim un = 1 ≠ 2.
Trường hợp 3: k ≥ 3 (Bậc tử lớn hơn Bậc mẫu), ta có:
un = \(\frac{{{n^k} + 2n}}{{{n^2} + 1}}\) = \(\frac{{{n^k} \cdot \left( {1 + \frac{2}{{{n^{k - 1}}}}} \right)}}{{{n^2} \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} = {n^{k - 2}} \cdot \frac{{1 + \frac{2}{{{n^{k - 1}}}}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}\).
Khi n → +∞:
Vì k ≥ 3 nên k – 2 ≥ 1, do đó lim nk-2 = +∞ ⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)un = +∞.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: .
Vậy .
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: .
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập