Tam giác DEF vuông cân tại E có EI = \[\sqrt {10} \] cm, \[IH \bot DE\], \[IK \bot EF\]. Biết DE² + EF² = DF², chu vi tứ giác HEKI là:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Do ABCD là hình bình hành có 2 đường chéo AC và BD bằng nhau nên ABCD là hình chữ nhật.

b) Sai. Ta có MN // AC; PQ // AC suy ra MN // PQ.

NP // BD; BD // MQ suy ra NP // MQ.

Do đó MNPQ là hình hình hành.

Gọi K là giao điểm của DB và MN, L là giao điểm NP và AC.

Ta có NP // BD nên \(\widehat {PNK} = \widehat {BKN}\) (so le trong);

MN // AC nên \(\widehat {BKN} = \widehat {KOL}\) (đồng vị)

Suy ra \(\widehat {PNK} = \widehat {KOL}\).

ABCD là hình chữ nhật nên AC không vuông góc với BD, suy ra \(\widehat {KOL} \ne 90^\circ \).

Vậy \(\widehat {PNK} \ne 90^\circ \).

Để hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật cần có góc vuông, mà \(\widehat {PNK} \ne 90^\circ \) nên MPNQ không phải hình chữ nhật.

c) Đúng. Vì MNPQ là hình bình hành nên MQ = NP.

d) Đúng. Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Ta có \(\widehat {AMQ} = \widehat {ABD} = \widehat {BDC} = \widehat {NPC}\).

Xét ∆AMQ vuông tại A và ∆CNP vuông tại C có:

MQ = NP và \(\widehat {AMQ} = \widehat {NPC}\)

Do đó ∆AMQ = ∆CNP (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AQ = CN.

Xét tứ giác AQCN có AQ // CN và AQ = CN nên AQCN là hình bình hành.

Khi đó hai đường chéo AC và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà O là trung điểm của AC nên O là trung điểm của NQ.

Theo c) có MNPQ là hình bình hành nên MP và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà O là trung điểm của NQ nên O là trung điểm của MP.

Như vậy bốn đường AC, BD, MP và NQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay bốn đường này đồng quy.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Tứ giác MNPQ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau MN // PQ và MN = PQ nên nó là hình bình hành.

b) Sai. Hình bình hành MNPQ có \(\widehat M = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau nhưng không có tính chất hai đường chéo vuông góc.

c) Đúng. Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật nên 4 góc đều là góc vuông.

d) Sai. Trong tam giác vuông MNQ, đường cao MH từ đỉnh M không đi qua trung điểm cạnh huyền, đường cao đồng thời là đường trung tuyến khi chỉ khi ∆MNQ vuông cân tại M, điều này chưa có đủ cơ sở để khẳng định.