Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \(\widehat {ABC} > \widehat {ACB},\) trung tuyến \[AM\]. Trên tia đối của tia \[CB\] lấy điểm \[D\] sao cho \[C\] là trung điểm của \[MD\]. Trên tia đối của tia \[BA\] lấy điểm \[E\] sao cho \(BE = BA.\) Trên tia đối của tia \[MA\] lấy điểm \[N\] sao cho \(MN = MA\).
a) Chứng minh \(\Delta AMB = \Delta NMC\) và \[CN \bot CA\].
b) Gọi \[I\] là trung điểm của \[DE\]. Chứng minh ba điểm \[A,\,\,M,\,\,I\] thẳng hàng.
c) So sánh \[AD\] và \[BC\].
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \(\widehat {ABC} > \widehat {ACB},\) trung tuyến \[AM\]. Trên tia đối của tia \[CB\] lấy điểm \[D\] sao cho \[C\] là trung điểm của \[MD\]. Trên tia đối của tia \[BA\] lấy điểm \[E\] sao cho \(BE = BA.\) Trên tia đối của tia \[MA\] lấy điểm \[N\] sao cho \(MN = MA\).
a) Chứng minh \(\Delta AMB = \Delta NMC\) và \[CN \bot CA\].
b) Gọi \[I\] là trung điểm của \[DE\]. Chứng minh ba điểm \[A,\,\,M,\,\,I\] thẳng hàng.
c) So sánh \[AD\] và \[BC\].
Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 7 Chương 9 (có đáp án) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![Do đó \[BC = MD\] (đpcm). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/07/image-9nefwxtsb39tmxwu58of-1785467536.png)
a) Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta NMC\) có
\[MC = MB\] (gt)
\(\widehat {AMB} = \widehat {NMC}\) (hai góc đối đỉnh)
\[MA = MN\] (gt)
Do đó \(\Delta AMB = \Delta NMC\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}{\rm{.}}\)
Suy ra \[\widehat {MAB} = \widehat {MNC}\] (hai góc tương ứng).
Ta thấy hai góc này ở vị trí so le trong \(CN\,{\rm{//}}\,AB\).
Mà \[BA \bot CA\] nên \[CN \bot CA\].
b) Vì \[B\] là trung điểm của \[AE\] nên \[DB\] là đường trung tuyến của \(\Delta DAE\).
Ta có \[DC = CM,\,\,CM = MB\] nên \[DM = \frac{2}{3}DB\].
Do đó \[M\] là trọng tâm của \[\Delta DAE\]
Vì \[I\] là trung điểm của \[DE\] nên \[AI\] là đường trung tuyến của \[\Delta DAE\].
Mà \[M \in AI\] nên ba điểm \[A,\,\,M,\,\,I\] thẳng hàng.
c*) Vì \[\Delta AMB = \Delta NMC\] (cmt) nên \[AB = NC\] (hai cạnh tương ứng)
Xét \[\Delta ACN\] và \[\Delta CAB\] có
Cạnh \[CA\] chung ; \[\widehat {CAB} = \widehat {ACN} = 90^\circ \], \[CN = AB\] (cmt)
Do đó \[\Delta ACN = \Delta CAB\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\]
Suy ra \[AN = BC\] (hai cạnh tương ứng)
Nên \[\frac{1}{2}AN = \frac{1}{2}BC\] hay \[AM = MC = MB\].
Do đó \[\Delta AMC\] và \[\Delta AMB\] cân tại \[M.\]
Theo tính chất góc ngoài tam giác, ta có
• \[\widehat {AMB} = \widehat {ACB} + \widehat {CAM} = 2\widehat {ACB}\]
• \[\widehat {AMC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAM} = 2\widehat {ABC}\]
• \[\widehat {AMC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAM} = 2\widehat {ABC}\]
Vì \[\widehat {ACB} < \widehat {ABC}\] nên \[\widehat {AMB} < \widehat {AMC}\].
Mà \[\widehat {AMB}\] và \[\widehat {AMC}\] là hai góc kề bù nên \[\widehat {AMC}\] là góc tù.
Xét \[\Delta AMB\] có \[\widehat {AMD}\] là góc tù nên \[\widehat {AMD} > \widehat {DAM}.\]
Suy ra \[AD > MD\] (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện).
Lại có \[MB = MC = CD\] nên \[MB + MC = MC + CD\].
Do đó \[BC = MD\] (đpcm).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta AEC\) có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ \);
\(AB = AC\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\));
\(\widehat {BAC}\) là góc chung.
Do đó \(\Delta ADB = \Delta AEC\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra \(AD = AE\) (hai cạnh tương ứng).
Mà \(AB = AC\) (chứng minh trên)
Nên \(AB - AE = AC - AD\) hay \(BE = CD\).
b) Do \(\Delta ADB = \Delta AEC\) (câu a) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (hai góc tương ứng)
Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta CHD\) có:
\(\widehat {BEH} = \widehat {CDH} = 90^\circ \);
\(BE = CD\) (chứng minh câu a);
\(\widehat {EBH} = \widehat {DCH}\)(chứng minh trên).
Do đó \(\Delta BHE = \Delta CHD\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
Suy ra \(HB = HC\) (hai cạnh tương ứng)
Tam giác \(HBC\) có \(HB = HC\) nên là tam giác cân tại \(H\).
Xét \(\Delta HDC\) vuông tại \(D\) có \(HC\) là cạnh huyền nên là cạnh có độ dài lớn nhất.
Do đó \(HC > HD\).
Mà \(HB = HC\) (chứng minh trên) nên \(HB > HD.\)
c) Gọi \[P\] là giao điểm của \[HI\] và \[BC\].
\(\Delta HBC\) có hai đường trung tuyến \[BM\] và \[CN\] cắt nhau tại \[I\].
Do đó \[I\] là trọng tâm của \(\Delta HBC\) nên \[HP\] là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \[H\] của tam
giác.
Mà \(\Delta HBC\) cân tại \(H\) nên đường trung tuyến \[HP\] đồng thời là đường cao của tam giác.
Suy ra \(HP \bot BC\) hay \(HI \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
• \(\Delta ABC\) có \[H\] là giao điểm của hai đường cao \[BD\] và \[CE\] nên \[H\] là trực tâm của \(\Delta ABC\).
Do đó \(AH \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra ba điểm \(A,H,I\) cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với \[BC\] tại
\(P\).
Hay ba điểm \(A,H,I\) thẳng hàng.
Câu 2
Lời giải
Chọn B
Theo bất đẳng thức về cạnh trong tam giác, ta có \(\left| {MN - NP} \right| < MP < MN + NP.\)
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập