Cho phương trình x2 – mx + 1 = 0. Chứng minh rằng với m là số nguyên thì x15 + x25 là số nguyên.

Gỉa sử: Ta có: x1 + x2 = S và x1x2 = P x15 + x25 = (x13 + x23)(x12 + x22) - x12x22 (x1 + x2) = (S3 – 3SP)(S2 – 2P) – SP2 (*) Mà theo hệ thức Vi-ét ta có: [ left { begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = S = m {x_1}{x_2} = P = 1 end{array} right. ] Khi đó thay vào (*) ta được: x15 + x25 = (m3 – 3m)(m2 – 2) – m = m5 – 2m3 – 3m3 + 6m – m = m5 – 2m3 – 3m3 + 5m Ta thấy giá trị biểu thức x15 + x25 phụ thuộc vào giá trị của m Nên nếu m là số nguyên thì m5 – 2m3 – 3m3 + 5m cũng là số nguyên Vậy với m là số nguyên thì x15 + x25 là số nguyên.

Câu hỏi:

31/07/2026 25

Cho phương trình x² – mx + 1 = 0. Chứng minh rằng với m là số nguyên thì x₁⁵ + x₂⁵ là số nguyên.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gỉa sử:

Ta có: x₁ + x₂= S và x₁x₂ = P

x₁⁵ + x₂⁵

= (x₁³ + x₂³)(x₁² + x₂²) - x₁²x₂² (x₁ + x₂)

= (S³ – 3SP)(S² – 2P) – SP² (*)

Mà theo hệ thức Vi-ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = S = m\\{x_1}{x_2} = P = 1\end{array} \right.\]

Khi đó thay vào (*) ta được:

x₁⁵ + x₂⁵

= (m³ – 3m)(m² – 2) – m

= m⁵ – 2m³ – 3m³ + 6m – m

= m⁵ – 2m³ – 3m³ + 5m

Ta thấy giá trị biểu thức x₁⁵ + x₂⁵ phụ thuộc vào giá trị của m

Nên nếu m là số nguyên thì m⁵ – 2m³ – 3m³ + 5m cũng là số nguyên

Vậy với m là số nguyên thì x₁⁵ + x₂⁵ là số nguyên.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm x biết: (x – 7)^{x + 1} – (x – 7)^{x + 11} = 0.

Xem đáp án

Lời giải

(x – 7)^{x + 1} – (x – 7)^{x + 11} = 0

⇔ (x – 7)^{x + 1} [1 – (x – 7)¹⁰] = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}{\left( {x - 7} \right)^{x + 1}} = 0\\{\left( {x - 7} \right)^{10}} = 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 7 = 0\\x - 7 = \pm 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 7\\x = 8\\x = 6\end{array} \right.\)

Vậy x ∈{6; 7; 8}.

Câu 2

Tìm x biết (x + 5) chia hết cho (x + 1).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: x + 5 = (x + 1) + 4

Vì (x + 1) chia hết cho (x + 1) nên để (x + 5) chia hết cho (x + 1) thì 4 chia hết cho x + 1

Tức là x + 1 ∈ Ư(4) = {-4; -2; -1; 1; 2; 4}

Suy ra: x ∈{-5; -3; -2; 0; 1; 3}

Vậy x ∈{-5; -3; -2; 0; 1; 3}.

Câu 3