Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?

Đáp án đúng là: B

Theo giả thiết ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} + {u_3} + {u_4} = \frac{{35}}{2}}\\{{u_1} \cdot {u_5} = 25}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} \cdot q + {u_1} \cdot {q^2} + {u_1} \cdot {q^3} = \frac{{35}}{2} \,\, (1)}\\{{u_1} \cdot {u_1} \cdot {q^4} = 25 \,\, (2)}\end{array}} \right.\]

Từ (2) \[ \Leftrightarrow {\left( {{u_1} \cdot {q^2}} \right)^2} = {5^2} \Leftrightarrow {u_1} \cdot {q^2} = 5\] (vì u_i > 0)

\[ \Rightarrow {u_1} = \frac{5}{{{q^2}}}\] thay vào (1) ta được:

\[\frac{5}{{{q^2}}}\left( {q + {q^2} + {q^3}} \right) = \frac{{35}}{2}\]

\[ \Leftrightarrow 10.\left( {{\rm{q}} + {{\rm{q}}^2} + {{\rm{q}}^3}} \right) = 35{{\rm{q}}^2}\]

\[ \Leftrightarrow 10{q^3} - 25{q^2} + 10q = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 0\left( {loai} \right)\\q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

• Với q = 2 thì \[{u_1} = \frac{5}{4}\];

• Với \[q = \frac{1}{2}\] thì u₁ = 20.

Đáp án đúng là: C

Theo giả thiết ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_6} = 165}\\{{u_3} + {u_4} = 60}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_1}{q^5} = 165}\\{{u_1}{q^2} + {u_1}{q^3} = 60}\end{array}} \right.} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}\left( {1 + {q^5}} \right) = 165 \,\, \left( 1 \right)}\\{{u_1}\left( {{q^2} + {q^3}} \right) = 60 \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]

Lấy (1) chia (2) vế chia vế ta được:

\[\frac{{1 + {q^5}}}{{{q^2}(1 + q)}} = \frac{{11}}{4} \Leftrightarrow \frac{{(1 + q)\left( {1 - q + {q^2} - {q^3} + {q^4}} \right)}}{{{q^2}(1 + q)}} = \frac{{11}}{4}\]

\[ \Leftrightarrow 4\left( {1 - q + {q^2} - {q^3} + {q^4}} \right) = 11{q^2}\]

\[ \Leftrightarrow 4{q^4} - 4{q^3} - 7{q^2} - 4q + 4 = 0\]

Chia cả hai vế của phương trình trên cho q² ≠ 0 ta được:

\[\frac{{4{q^4}}}{{{q^2}}} - \frac{{4{q^3}}}{{{q^2}}} - \frac{{7{q^2}}}{{{q^2}}} - \frac{{4q}}{{{q^2}}} + \frac{4}{{{q^2}}} = 0\]

\[ \Leftrightarrow 4\left( {{q^2} + \frac{1}{{{q^2}}}} \right) - 4\left( {q + \frac{1}{q}} \right) - 7 = 0(*)\]

Đặt\[t = q + \frac{1}{q} \Rightarrow {t^2} = {\left( {q + \frac{1}{q}} \right)^2} \Rightarrow {q^2} + \frac{1}{{{q^2}}} = {t^2} - 2\].

Điều kiện: | t | ≥ 2.

Khi đó phương trình (*) trở thành:

\[4\left( {{{\rm{t}}^2} - 2} \right) - 4{\rm{t}} - 7 = 0 \Leftrightarrow 4{{\rm{t}}^2} - 4{\rm{t}} - 15 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{5}{2}}\\{t = - \frac{3}{2}\,\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\]

* Với \[t = \frac{5}{2} \Leftrightarrow q + \frac{1}{q} = \frac{5}{2}\]\[ \Leftrightarrow 2{q^2} - 5q + 2 = 0 \Leftrightarrow q = 2{\rm{ }}\]hoặc \[{\rm{q}} = \frac{1}{2}\].

• \[q = 2 \Rightarrow {u_1} = \frac{{165}}{{1 + {q^5}}} = \frac{{165}}{{{1^2} + {2^5}}} = 5\];

• \[q = \frac{1}{2} \Rightarrow {u_1} = \frac{{165}}{{1 + {q^2}}} = \frac{{165}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^5}}} = 160.\] 

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 5 hoặc 160.