(2,0 điểm). Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(2a\). Gọi \(K\) là trung điểm của cạnh \(AC\), các điểm \(H\) và \(I\) được định bởi \(\overrightarrow {BC} = 5\overrightarrow {BH} \) và \(\overrightarrow {BK} = 3\overrightarrow {BI} \).

a) Tính độ dài của vectơ \(\vec a = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} \). (1,0 điểm)

b) Chứng minh rằng ba điểm \(A,I,H\) thẳng hàng. (1,0 điểm)

a) Áp dụng quy tắc ba điểm đối với phép cộng vectơ: \(\vec a = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \).

Độ dài của vectơ \(\vec a\) là: \(\left| {\vec a} \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = 2a\).

b) Từ giả thiết \(\overrightarrow {BC} = 5\overrightarrow {BH} \Rightarrow \overrightarrow {BH} = \frac{1}{5}\overrightarrow {BC} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AB} = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{4}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} \quad \left( 1 \right)\).

Vì \(K\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

Từ giả thiết \(\overrightarrow {BK} = 3\overrightarrow {BI} \Rightarrow \overrightarrow {BI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BK} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AK} - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AK} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \quad \left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 2 \right)\), ta đặt hệ số \(\frac{5}{6}\) ra ngoài: \(\overrightarrow {AI} = \frac{5}{6}\left( {\frac{4}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} } \right)\).

Thay \(\left( 1 \right)\) vào biểu thức trên, ta suy ra: \(\overrightarrow {AI} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AH} \).

Vì \(\overrightarrow {AI} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AH} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AI} \) và \(\overrightarrow {AH} \) cùng phương, lại có chung điểm gốc \(A\).

Vậy ba điểm \(A,I,H\) thẳng hàng (đpcm).