(1,0 điểm). Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {ACB} = 30^\circ \) và \(BC = 6a\). Tính \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} \).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ \(O \equiv C\) nằm trên mặt đất (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét):

Trục \(Ox\) trùng với đường mặt đất \(AI\).

Trục \(Oy\) đi qua đỉnh \(D\) của parabol \(\left( {{P_1}} \right)\).

Tọa độ các điểm liên quan trên mặt đất và đỉnh: \(C\left( {0;0} \right),D\left( {0;5,8} \right)\).

Điểm \(E\) cách \(C\) một khoảng \(4{\rm{\;m}} \Rightarrow E\left( {4;0} \right)\).

Điểm \(G\) cách \(E\) một khoảng \(2{\rm{\;m}} \Rightarrow G\left( {6;0} \right)\).

Điểm \(I\) cách \(G\) một khoảng \(2{\rm{\;m}} \Rightarrow I\left( {8;0} \right)\).

Điểm \(A\) cách \(C\) một khoảng \(3{\rm{\;m}} \Rightarrow A\left( { - 3;0} \right)\).

Điểm \(B\) thuộc đường thẳng đứng đi qua \(A\) và cách \(A\) một khoảng \(4{\rm{\;m}} \Rightarrow B\left( { - 3;4} \right)\).

Vì \(\left( {{P_1}} \right)\) có đỉnh \(D\left( {0;5,8} \right)\) nằm trên \(Oy\), nên phương trình có dạng \(\left( {{P_1}} \right):y = {a_1}{x^2} + 5,8\quad \left( {{a_1} < 0} \right)\).

Lại có \(\left( {{P_1}} \right)\) đi qua \(B\) nên \(4 = 9{a_1} + 5,8 \Rightarrow {a_1} = - 0,2\) (thỏa mãn).

Vậy \(\left( {{P_1}} \right):y = - 0,2{x^2} + 5,8\).

Điểm \(F\) thuộc đường thẳng thẳng đứng qua \(E\left( {4;0} \right)\), nên \({x_F} = 4\), suy ra \({y_F} = - 0,2 \cdot {4^2} + 5,8 = 2,6\).

Tọa độ điểm \(F\) là \(F\left( {4;2,6} \right)\).

Vì \(\left( {{P_2}} \right)\) có đỉnh \(H\) nằm trên đường thẳng thẳng đứng qua \(G\left( {6;0} \right)\), nên \({x_H} = 6\).

Phương trình \(\left( {{P_2}} \right)\) có dạng \(y = {a_2}{x^2} + bx + c\quad \left( {{a_2} > 0} \right)\).

Vì \({x_H} = 6\) nên \( - \frac{b}{{2{a_2}}} = 6 \Rightarrow b = - 12{a_2}\).

Hai parabol nối nhau trơn tru tại \(F\left( {4;2,6} \right)\) nên \(F \in \left( {{P_2}} \right)\), suy ra \(16{a_2} + 4b + c = 2,6\). Thay \(b = - 12{a_2}\) vào ta được \( - 32{a_2} + c = 2,6\).

Điểm \(K\) thuộc đường thẳng thẳng đứng qua \(I\left( {8;0} \right)\), nên \({x_K} = 8\) và \(K \in \left( {{P_2}} \right)\), suy ra

\({y_K} = 64{a_2} + 8b + c = 64{a_2} + 8 \cdot \left( { - 12{a_2}} \right) + c = - 32{a_2} + c = 2,6\).

Vậy khoảng cách từ điểm \(K\) đến mặt đất là \(2,6{\rm{\;m\'e t}}\).

Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Do đó, \(MN{\rm{//}}BC\) và \(MN = \frac{1}{2}BC\).

Vì \(MN{\rm{//}}BC\) và điểm \(M,N\) nằm cùng thứ tự phía trên đoạn \(BC\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng.

Đáp án: A