(1,0 điểm). Một kỹ sư thiết kế đoạn đường ray tàu lượn như hình vẽ gồm: phần thứ nhất là một phần của parabol \(\left( {{P_1}} \right)\) có đỉnh \(D\) cách mặt đất \(5,8{\rm{\;m}}\), phần thứ hai là một phần của parabol \(\left( {{P_2}} \right)\) có đỉnh \(H\). Hai parabol này nối tiếp với nhau trơn tru tại điểm \(F\). Khoảng cách từ \(K\) đến mặt đất bằng bao nhiêu mét?

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ \(O \equiv C\) nằm trên mặt đất (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét):

Trục \(Ox\) trùng với đường mặt đất \(AI\).

Trục \(Oy\) đi qua đỉnh \(D\) của parabol \(\left( {{P_1}} \right)\).

Tọa độ các điểm liên quan trên mặt đất và đỉnh: \(C\left( {0;0} \right),D\left( {0;5,8} \right)\).

Điểm \(E\) cách \(C\) một khoảng \(4{\rm{\;m}} \Rightarrow E\left( {4;0} \right)\).

Điểm \(G\) cách \(E\) một khoảng \(2{\rm{\;m}} \Rightarrow G\left( {6;0} \right)\).

Điểm \(I\) cách \(G\) một khoảng \(2{\rm{\;m}} \Rightarrow I\left( {8;0} \right)\).

Điểm \(A\) cách \(C\) một khoảng \(3{\rm{\;m}} \Rightarrow A\left( { - 3;0} \right)\).

Điểm \(B\) thuộc đường thẳng đứng đi qua \(A\) và cách \(A\) một khoảng \(4{\rm{\;m}} \Rightarrow B\left( { - 3;4} \right)\).

Vì \(\left( {{P_1}} \right)\) có đỉnh \(D\left( {0;5,8} \right)\) nằm trên \(Oy\), nên phương trình có dạng \(\left( {{P_1}} \right):y = {a_1}{x^2} + 5,8\quad \left( {{a_1} < 0} \right)\).

Lại có \(\left( {{P_1}} \right)\) đi qua \(B\) nên \(4 = 9{a_1} + 5,8 \Rightarrow {a_1} = - 0,2\) (thỏa mãn).

Vậy \(\left( {{P_1}} \right):y = - 0,2{x^2} + 5,8\).

Điểm \(F\) thuộc đường thẳng thẳng đứng qua \(E\left( {4;0} \right)\), nên \({x_F} = 4\), suy ra \({y_F} = - 0,2 \cdot {4^2} + 5,8 = 2,6\).

Tọa độ điểm \(F\) là \(F\left( {4;2,6} \right)\).

Vì \(\left( {{P_2}} \right)\) có đỉnh \(H\) nằm trên đường thẳng thẳng đứng qua \(G\left( {6;0} \right)\), nên \({x_H} = 6\).

Phương trình \(\left( {{P_2}} \right)\) có dạng \(y = {a_2}{x^2} + bx + c\quad \left( {{a_2} > 0} \right)\).

Vì \({x_H} = 6\) nên \( - \frac{b}{{2{a_2}}} = 6 \Rightarrow b = - 12{a_2}\).

Hai parabol nối nhau trơn tru tại \(F\left( {4;2,6} \right)\) nên \(F \in \left( {{P_2}} \right)\), suy ra \(16{a_2} + 4b + c = 2,6\). Thay \(b = - 12{a_2}\) vào ta được \( - 32{a_2} + c = 2,6\).

Điểm \(K\) thuộc đường thẳng thẳng đứng qua \(I\left( {8;0} \right)\), nên \({x_K} = 8\) và \(K \in \left( {{P_2}} \right)\), suy ra

\({y_K} = 64{a_2} + 8b + c = 64{a_2} + 8 \cdot \left( { - 12{a_2}} \right) + c = - 32{a_2} + c = 2,6\).

Vậy khoảng cách từ điểm \(K\) đến mặt đất là \(2,6{\rm{\;m\'e t}}\).