Bác Thành có một nông trại ao nuôi cá, mỗi ngày thu hoạch được \(2000{\rm{\;kg}}\) cá. Nếu bán cho thương lái với giá \(50\) nghìn đồng/kg thì hết cá, nếu giá bán cứ tăng thêm \(4\) nghìn đồng/kg thì số cá thừa sẽ tăng thêm \(20{\rm{\;kg}}\). Số cá thừa này được bán để làm thức ăn cho động vật với giá \(12\) nghìn đồng/kg. Hỏi Bác Thành phải bán với giá bao nhiêu nghìn đồng/kg để số tiền bán cá mỗi ngày đạt doanh thu nhiều nhất?

Gọi \(r = 13\) là bán kính của mỗi đường tròn nhỏ.

Dựa vào lưới sắp xếp của các đường tròn tiếp xúc nhau:

• Điểm \(B\) và \(C\) nằm trên cùng một hàng ngang. Đoạn \(BC\) nối từ tâm \(B\) đến tâm \(C\) đi qua 3 khoảng cách giữa các tâm tiếp xúc, tương ứng với \(3 \times 2r = 6r = 6 \cdot 13 = 78\).
• Khoảng cách theo phương ngang giữa \(B\) và \(A\) là \(1 \times 2r = 2r = 26\).
• Khoảng cách theo phương đứng (chiều cao) giữa \(A\) và đường thẳng \(BC\) là \(2 \times 2r = 4r = 52\).

Xét hệ tọa độ vuông góc với \(B\left( {0;0} \right)\):

• Tọa độ \(B = \left( {0;0} \right)\).
• Tọa độ \(C = \left( {78;0} \right) \Rightarrow BC = 78\).
• Tọa độ \(A = \left( {26;52} \right)\).

Độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\):

\(a = BC = 78\); \(c = AB = \sqrt {{{26}^2} + {{52}^2}} = 26\sqrt 5 \); \(b = AC = \sqrt {{{\left( {78 - 26} \right)}^2} + {{52}^2}} = 52\sqrt 2 \).

Diện tích tam giác \(ABC\): \(S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot {h_A} = \frac{1}{2} \cdot 78 \cdot 52 = 2028\).

Bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là

\(R = \frac{{a \cdot b \cdot c}}{{4S}} = \frac{{78 \cdot 52\sqrt 2 \cdot 26\sqrt 5 }}{{4 \cdot 2028}}\)\( = 13\sqrt {10} = 41,1096...\).

Làm tròn đến hàng phần mười: \(R \approx 41,1\).

Đáp số: \(41,1\).

Gọi \(x \ge 0,y \ge 0\) lần lượt là số áo sơ mi nam và quần tây nữ cần sản xuất (\(x,y \in \mathbb{N}\)).

a) Đúng. Thời gian sử dụng máy cắt CNC: \(3x + y \le 9 \Rightarrow 3x + y - 9 \le 0\).

b) Đúng. Thời gian sử dụng máy may công nghiệp: \(2x + y \le 8 \Rightarrow 2x + y - 8 \le 0\).

c) Sai. Cặp \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;10} \right)\) có \(3 \cdot 1 + 10 = 13 > 9\), không thỏa mãn hệ bất phương trình miền nghiệm.

d) Sai. Hàm lợi nhuận: \(F\left( {x;y} \right) = 97x + 107y\) (đơn vị: ngàn đồng).

Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{3x + y \le 9}\\{2x + y \le 8}\end{array}} \right.\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {3;0} \right),B\left( {1;6} \right),C\left( {0;8} \right)\).

Ta có \(F\left( {0;0} \right) = 0\); \(F\left( {3;0} \right) = 97 \cdot 3 = 291\); \(F\left( {1;6} \right) = 97 \cdot 1 + 107 \cdot 6 = 739\); \(F\left( {0;8} \right) = 107 \cdot 8 = 856\).

Lợi nhuận lớn nhất đạt được là \(856\) ngàn đồng (tại \(x = 0,y = 8\)).

Kết luận:

a) Đúng                     b) Đúng                     c) Sai                         d) Sai