Bác Thành có một nông trại ao nuôi cá, mỗi ngày thu hoạch được \(2000{\rm{\;kg}}\) cá. Nếu bán cho thương lái với giá \(50\) nghìn đồng/kg thì hết cá, nếu giá bán cứ tăng thêm \(4\) nghìn đồng/kg thì số cá thừa sẽ tăng thêm \(20{\rm{\;kg}}\). Số cá thừa này được bán để làm thức ăn cho động vật với giá \(12\) nghìn đồng/kg. Hỏi Bác Thành phải bán với giá bao nhiêu nghìn đồng/kg để số tiền bán cá mỗi ngày đạt doanh thu nhiều nhất?

Đáp số: ____

Ký hiệu \(c = AB = 8\), \(b = AC = 9\), \(a = BC = 10\).

a) Đúng. Nửa chu vi \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{10 + 9 + 8}}{2} = \frac{{27}}{2} = 13,5{\rm{\;cm}}\).

b) Đúng. Theo định lý côsin trong tam giác \(ABC\), ta có \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{9^2} + {8^2} - {{10}^2}}}{{2 \cdot 9 \cdot 8}} = \frac{5}{{16}}\).

Suy ra \(\hat A \approx 71,79^\circ \approx 72^\circ \).

c) Sai. Tính diện tích \(S\) bằng công thức Heron:

\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {13,5 \cdot \left( {13,5 - 10} \right) \cdot \left( {13,5 - 9} \right) \cdot \left( {13,5 - 8} \right)} \)\( \approx 34,197{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2} \approx 34,40{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\).

Kết quả: \(34,20{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2} \ne 35,08{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\).

d) Sai. Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R = \frac{{a \cdot b \cdot c}}{{4S}} \approx 5,26{\rm{\;cm}}\).

Do \(5,26{\rm{\;cm}} \ne 6,13{\rm{\;cm}}\) nên ý d) sai.

Kết luận:

a) Đúng                     b) Đúng                     c) Sai                         d) Sai

Gọi \(r = 13\) là bán kính của mỗi đường tròn nhỏ.

Dựa vào lưới sắp xếp của các đường tròn tiếp xúc nhau:

• Điểm \(B\) và \(C\) nằm trên cùng một hàng ngang. Đoạn \(BC\) nối từ tâm \(B\) đến tâm \(C\) đi qua 3 khoảng cách giữa các tâm tiếp xúc, tương ứng với \(3 \times 2r = 6r = 6 \cdot 13 = 78\).
• Khoảng cách theo phương ngang giữa \(B\) và \(A\) là \(1 \times 2r = 2r = 26\).
• Khoảng cách theo phương đứng (chiều cao) giữa \(A\) và đường thẳng \(BC\) là \(2 \times 2r = 4r = 52\).

Xét hệ tọa độ vuông góc với \(B\left( {0;0} \right)\):

• Tọa độ \(B = \left( {0;0} \right)\).
• Tọa độ \(C = \left( {78;0} \right) \Rightarrow BC = 78\).
• Tọa độ \(A = \left( {26;52} \right)\).

Độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\):

\(a = BC = 78\); \(c = AB = \sqrt {{{26}^2} + {{52}^2}} = 26\sqrt 5 \); \(b = AC = \sqrt {{{\left( {78 - 26} \right)}^2} + {{52}^2}} = 52\sqrt 2 \).

Diện tích tam giác \(ABC\): \(S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot {h_A} = \frac{1}{2} \cdot 78 \cdot 52 = 2028\).

Bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là

\(R = \frac{{a \cdot b \cdot c}}{{4S}} = \frac{{78 \cdot 52\sqrt 2 \cdot 26\sqrt 5 }}{{4 \cdot 2028}}\)\( = 13\sqrt {10} = 41,1096...\).

Làm tròn đến hàng phần mười: \(R \approx 41,1\).

Đáp số: \(41,1\).