Một công ty viễn thông tính phí 1,2 nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và 2,4 nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Giới hạn chi tiêu mỗi tháng cho cước viễn thông đặt ra là 210 nghìn đồng. Tính đến thời điểm hiện tại của tháng, người đó đã sử dụng 65 phút gọi nội mạng và 7 phút gọi ngoại mạng. Hỏi nếu từ bây giờ người đó không gọi nội mạng nữa, thì họ có thể gọi ngoại mạng tối đa thêm bao nhiêu phút?

Gọi \(x\) là số lần tăng giá \(4\) nghìn đồng/kg (\(x \ge 0\)).

• Giá bán cá cho thương lái là: \(p = 50 + 4x\) (nghìn đồng/kg).
• Số cá thừa không bán được cho thương lái là: \(20x{\rm{\;(kg)}}\)
• Số cá bán được cho thương lái với giá \(p\) là: \(2000 - 20x{\rm{\;(kg)}}\).
• Số cá thừa được bán làm thức ăn động vật với giá \(12\) nghìn đồng/kg là: \(20x{\rm{\;(kg)}}\).

Tổng doanh thu thu được mỗi ngày là \(T\left( x \right)\):

\(T\left( x \right) = \left( {2000 - 20x} \right)\left( {50 + 4x} \right) + 20x \cdot 12\)\( = - 80{x^2} + 7240x + 100000\) (nghìn đồng).

Đây là một hàm số bậc hai dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a = - 80 < 0\), do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh:

\({x_0} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{7240}}{{2 \cdot \left( { - 80} \right)}} = \frac{{7240}}{{160}} = 45,25\).

Giá bán cá tương ứng cho thương lái để đạt doanh thu lớn nhất là:

        \(p = 50 + 4 \cdot \left( {45,25} \right) = 50 + 181 = 231\) (nghìn đồng/kg).

Đáp số: \(231\).

Gọi \(r = 13\) là bán kính của mỗi đường tròn nhỏ.

Dựa vào lưới sắp xếp của các đường tròn tiếp xúc nhau:

• Điểm \(B\) và \(C\) nằm trên cùng một hàng ngang. Đoạn \(BC\) nối từ tâm \(B\) đến tâm \(C\) đi qua 3 khoảng cách giữa các tâm tiếp xúc, tương ứng với \(3 \times 2r = 6r = 6 \cdot 13 = 78\).
• Khoảng cách theo phương ngang giữa \(B\) và \(A\) là \(1 \times 2r = 2r = 26\).
• Khoảng cách theo phương đứng (chiều cao) giữa \(A\) và đường thẳng \(BC\) là \(2 \times 2r = 4r = 52\).

Xét hệ tọa độ vuông góc với \(B\left( {0;0} \right)\):

• Tọa độ \(B = \left( {0;0} \right)\).
• Tọa độ \(C = \left( {78;0} \right) \Rightarrow BC = 78\).
• Tọa độ \(A = \left( {26;52} \right)\).

Độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\):

\(a = BC = 78\); \(c = AB = \sqrt {{{26}^2} + {{52}^2}} = 26\sqrt 5 \); \(b = AC = \sqrt {{{\left( {78 - 26} \right)}^2} + {{52}^2}} = 52\sqrt 2 \).

Diện tích tam giác \(ABC\): \(S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot {h_A} = \frac{1}{2} \cdot 78 \cdot 52 = 2028\).

Bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là

\(R = \frac{{a \cdot b \cdot c}}{{4S}} = \frac{{78 \cdot 52\sqrt 2 \cdot 26\sqrt 5 }}{{4 \cdot 2028}}\)\( = 13\sqrt {10} = 41,1096...\).

Làm tròn đến hàng phần mười: \(R \approx 41,1\).

Đáp số: \(41,1\).