Cho 12 đường tròn có cùng bán kính bằng 13 đặt tiếp xúc nhau như hình vẽ. Các điểm \(A,B\) và \(C\) là tâm của các đường tròn. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\) của tam giác \(ABC\) (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Gọi \(x\) là số lần tăng giá \(4\) nghìn đồng/kg (\(x \ge 0\)).

• Giá bán cá cho thương lái là: \(p = 50 + 4x\) (nghìn đồng/kg).
• Số cá thừa không bán được cho thương lái là: \(20x{\rm{\;(kg)}}\)
• Số cá bán được cho thương lái với giá \(p\) là: \(2000 - 20x{\rm{\;(kg)}}\).
• Số cá thừa được bán làm thức ăn động vật với giá \(12\) nghìn đồng/kg là: \(20x{\rm{\;(kg)}}\).

Tổng doanh thu thu được mỗi ngày là \(T\left( x \right)\):

\(T\left( x \right) = \left( {2000 - 20x} \right)\left( {50 + 4x} \right) + 20x \cdot 12\)\( = - 80{x^2} + 7240x + 100000\) (nghìn đồng).

Đây là một hàm số bậc hai dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a = - 80 < 0\), do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh:

\({x_0} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{7240}}{{2 \cdot \left( { - 80} \right)}} = \frac{{7240}}{{160}} = 45,25\).

Giá bán cá tương ứng cho thương lái để đạt doanh thu lớn nhất là:

        \(p = 50 + 4 \cdot \left( {45,25} \right) = 50 + 181 = 231\) (nghìn đồng/kg).

Đáp số: \(231\).

Gọi \(x \ge 0,y \ge 0\) lần lượt là số áo sơ mi nam và quần tây nữ cần sản xuất (\(x,y \in \mathbb{N}\)).

a) Đúng. Thời gian sử dụng máy cắt CNC: \(3x + y \le 9 \Rightarrow 3x + y - 9 \le 0\).

b) Đúng. Thời gian sử dụng máy may công nghiệp: \(2x + y \le 8 \Rightarrow 2x + y - 8 \le 0\).

c) Sai. Cặp \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;10} \right)\) có \(3 \cdot 1 + 10 = 13 > 9\), không thỏa mãn hệ bất phương trình miền nghiệm.

d) Sai. Hàm lợi nhuận: \(F\left( {x;y} \right) = 97x + 107y\) (đơn vị: ngàn đồng).

Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{3x + y \le 9}\\{2x + y \le 8}\end{array}} \right.\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {3;0} \right),B\left( {1;6} \right),C\left( {0;8} \right)\).

Ta có \(F\left( {0;0} \right) = 0\); \(F\left( {3;0} \right) = 97 \cdot 3 = 291\); \(F\left( {1;6} \right) = 97 \cdot 1 + 107 \cdot 6 = 739\); \(F\left( {0;8} \right) = 107 \cdot 8 = 856\).

Lợi nhuận lớn nhất đạt được là \(856\) ngàn đồng (tại \(x = 0,y = 8\)).

Kết luận:

a) Đúng                     b) Đúng                     c) Sai                         d) Sai