Một công ty may mặc có hai loại máy là máy cắt vải CNC và máy may công nghiệp để sản xuất hai loại sản phẩm áo sơ mi nam và quần tây nữ. Để sản xuất 1 cái áo sơ mi nam cần dùng máy cắt vải CNC trong 3 giờ và dùng máy may công nghiệp trong 2 giờ. Để sản xuất 1 cái quần tây nữ cần dùng máy cắt vải CNC trong 1 giờ và dùng máy may công nghiệp trong 1 giờ. Cho biết mỗi máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy cắt vải CNC làm việc không quá 9 giờ một ngày, máy may công nghiệp làm việc không quá 8 giờ một ngày. Một cái áo sơ mi nam lãi 97 ngàn đồng và một cái quần tây nữ lãi 107 ngàn đồng. Gọi \(x,y\) lần lượt là số cái áo sơ mi nam và quần tây nữ cần sản xuất.

Gọi \(x\) là số lần tăng giá \(4\) nghìn đồng/kg (\(x \ge 0\)).

• Giá bán cá cho thương lái là: \(p = 50 + 4x\) (nghìn đồng/kg).
• Số cá thừa không bán được cho thương lái là: \(20x{\rm{\;(kg)}}\)
• Số cá bán được cho thương lái với giá \(p\) là: \(2000 - 20x{\rm{\;(kg)}}\).
• Số cá thừa được bán làm thức ăn động vật với giá \(12\) nghìn đồng/kg là: \(20x{\rm{\;(kg)}}\).

Tổng doanh thu thu được mỗi ngày là \(T\left( x \right)\):

\(T\left( x \right) = \left( {2000 - 20x} \right)\left( {50 + 4x} \right) + 20x \cdot 12\)\( = - 80{x^2} + 7240x + 100000\) (nghìn đồng).

Đây là một hàm số bậc hai dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a = - 80 < 0\), do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh:

\({x_0} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{7240}}{{2 \cdot \left( { - 80} \right)}} = \frac{{7240}}{{160}} = 45,25\).

Giá bán cá tương ứng cho thương lái để đạt doanh thu lớn nhất là:

        \(p = 50 + 4 \cdot \left( {45,25} \right) = 50 + 181 = 231\) (nghìn đồng/kg).

Đáp số: \(231\).

Gọi \(r = 13\) là bán kính của mỗi đường tròn nhỏ.

Dựa vào lưới sắp xếp của các đường tròn tiếp xúc nhau:

• Điểm \(B\) và \(C\) nằm trên cùng một hàng ngang. Đoạn \(BC\) nối từ tâm \(B\) đến tâm \(C\) đi qua 3 khoảng cách giữa các tâm tiếp xúc, tương ứng với \(3 \times 2r = 6r = 6 \cdot 13 = 78\).
• Khoảng cách theo phương ngang giữa \(B\) và \(A\) là \(1 \times 2r = 2r = 26\).
• Khoảng cách theo phương đứng (chiều cao) giữa \(A\) và đường thẳng \(BC\) là \(2 \times 2r = 4r = 52\).

Xét hệ tọa độ vuông góc với \(B\left( {0;0} \right)\):

• Tọa độ \(B = \left( {0;0} \right)\).
• Tọa độ \(C = \left( {78;0} \right) \Rightarrow BC = 78\).
• Tọa độ \(A = \left( {26;52} \right)\).

Độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\):

\(a = BC = 78\); \(c = AB = \sqrt {{{26}^2} + {{52}^2}} = 26\sqrt 5 \); \(b = AC = \sqrt {{{\left( {78 - 26} \right)}^2} + {{52}^2}} = 52\sqrt 2 \).

Diện tích tam giác \(ABC\): \(S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot {h_A} = \frac{1}{2} \cdot 78 \cdot 52 = 2028\).

Bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là

\(R = \frac{{a \cdot b \cdot c}}{{4S}} = \frac{{78 \cdot 52\sqrt 2 \cdot 26\sqrt 5 }}{{4 \cdot 2028}}\)\( = 13\sqrt {10} = 41,1096...\).

Làm tròn đến hàng phần mười: \(R \approx 41,1\).

Đáp số: \(41,1\).