Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng \({\rm{S}}20^\circ {\rm{E}}\) với vận tốc đối có độ lớn bằng \(22{\rm{\;km/h}}\). Tính độ lớn của vận tốc riêng của ca nô, biết rằng nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc \(2{\rm{\;km/h}}\), giả sử những tác động khác vào ca nô không đáng kể (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) ĐÚNG. \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC} = 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ  = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\).

b) ĐÚNG. \(\left| {\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = AC = 4\).

c) SAI. Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\), theo công thức trung điểm ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

d) ĐÚNG. Ta biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {BE} \) theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \): \(\overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \).

Hai đường thẳng \(AD\) và \(BE\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BE}  = 0\):

\(\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {k\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {k\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  - {{\overrightarrow {AB} }^2} + k{{\overrightarrow {AC} }^2} - \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AB} } \right) = 0\)

Thay các giá trị \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 6\), \({\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = 9\), \({\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 16\):

\(k \cdot 6 - 9 + k \cdot 16 - 6 = 0 \Leftrightarrow 22k - 15 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{15}}{{22}}\).

Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng

a) Vì \(M\) thuộc đoạn thẳng \(BC\) và \(2MB = 3MC \Rightarrow \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{3}{2}\), do đó: \(\overrightarrow {BM}  = \frac{3}{5}\overrightarrow {BC} \).

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{5}\overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \left( {1 - \frac{3}{5}} \right)\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{5}\overrightarrow {AC}  = \frac{2}{5}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{5}\overrightarrow {AC} \).

b) Từ giả thiết \(2MB = 3MC\) và \(M \in BC\), ta có điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức vectơ:

\(2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC}  = \vec 0\).

Ta có \(5\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = 5\overrightarrow {KA}  + 2\left( {\overrightarrow {KM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {KM}  + \overrightarrow {MC} } \right)\)

\( = 5\overrightarrow {KA}  + 5\overrightarrow {KM}  + \left( {2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right) = 5\left( {\overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {KM} } \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AM\), suy ra \(\overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {KM}  = 2\overrightarrow {KI} \).

Khi đó: \(P = \left| {5 \cdot 2\overrightarrow {KI} } \right| = 10KI\).

Để \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn thẳng \(KI\) phải ngắn nhất.

Vì \(K\) di động trên đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và song song với \(BC\), \(KI\) ngắn nhất khi và chỉ khi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên đường thẳng \(d\).

Do \(d{\rm{//}}BC\) và \(AM\) cắt \(BC\) tại \(M\), hình chiếu \(K\) chính là chân đường vuông góc kẻ từ \(I\) đến \(d\).