Sự chuyển động của một tàu thủy được mô hình hóa trên mặt phẳng tọa độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí \(A\left( {3;2} \right)\), chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo đơn vị \({\rm{km/h}}\)) được biểu thị bởi vectơ \(\vec v = \left( {3;4} \right)\). Gọi \(B\left( {x;y} \right)\) là vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi tàu khởi hành \(2\) giờ. Tính giá trị của \(x \cdot y\).

a) ĐÚNG. \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC} = 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ  = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\).

b) ĐÚNG. \(\left| {\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = AC = 4\).

c) SAI. Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\), theo công thức trung điểm ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

d) ĐÚNG. Ta biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {BE} \) theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \): \(\overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \).

Hai đường thẳng \(AD\) và \(BE\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BE}  = 0\):

\(\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {k\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {k\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  - {{\overrightarrow {AB} }^2} + k{{\overrightarrow {AC} }^2} - \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AB} } \right) = 0\)

Thay các giá trị \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 6\), \({\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = 9\), \({\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 16\):

\(k \cdot 6 - 9 + k \cdot 16 - 6 = 0 \Leftrightarrow 22k - 15 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{15}}{{22}}\).

Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng

a) Vì \(M\) thuộc đoạn thẳng \(BC\) và \(2MB = 3MC \Rightarrow \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{3}{2}\), do đó: \(\overrightarrow {BM}  = \frac{3}{5}\overrightarrow {BC} \).

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{5}\overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \left( {1 - \frac{3}{5}} \right)\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{5}\overrightarrow {AC}  = \frac{2}{5}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{5}\overrightarrow {AC} \).

b) Từ giả thiết \(2MB = 3MC\) và \(M \in BC\), ta có điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức vectơ:

\(2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC}  = \vec 0\).

Ta có \(5\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = 5\overrightarrow {KA}  + 2\left( {\overrightarrow {KM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {KM}  + \overrightarrow {MC} } \right)\)

\( = 5\overrightarrow {KA}  + 5\overrightarrow {KM}  + \left( {2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right) = 5\left( {\overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {KM} } \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AM\), suy ra \(\overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {KM}  = 2\overrightarrow {KI} \).

Khi đó: \(P = \left| {5 \cdot 2\overrightarrow {KI} } \right| = 10KI\).

Để \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn thẳng \(KI\) phải ngắn nhất.

Vì \(K\) di động trên đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và song song với \(BC\), \(KI\) ngắn nhất khi và chỉ khi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên đường thẳng \(d\).

Do \(d{\rm{//}}BC\) và \(AM\) cắt \(BC\) tại \(M\), hình chiếu \(K\) chính là chân đường vuông góc kẻ từ \(I\) đến \(d\).